岡山大学 2019年度 前期 数学I・II・III・A・B理系数学 第4問

(1)
点 $P(t,t^2-t+1)$ を直線 $y=x$ に正射影した点が $Q$ である。直線 $y=x$ の方向の単位ベクトルは $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ であるから，$$u=OQ=\frac{t+(t^2-t+1)}{\sqrt{2}}=\frac{t^2+1}{\sqrt{2}}$$である。

(2)
点 $(X,Y)$ から直線 $y=x$ までの距離は $\frac{\mathrm{\mid }Y-X\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}$ である。したがって$$PQ=\frac{\mathrm{\mid }{t}^2-t+1-t\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}=\frac{(1-t{)}^2}{\sqrt{2}}$$である。

(3)
直線 $y=x$ からの距離を半径として，軸に垂直な断面を考える。$$0\leqq u\leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$$ では断面の端は $y$ 軸上にあり，半径は $u$ である。$$\frac{1}{\sqrt{2}}\leqq u\leqq \sqrt{2}$$ では曲線 $C$ 上の点で決まり，(1)(2)より$$u=\frac{t^2+1}{\sqrt{2}},\text{半径}=\frac{(1-t{)}^2}{\sqrt{2}}(0\leqq t\leqq 1)$$である。よって体積 $V$ は$$V=\pi {\int }_0^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}{u}^{2}du+\pi {\int }_0^1{\left\{\frac{(1-t{)}^2}{\sqrt{2}}\right\}}^2\frac{du}{dt}dt$$である。ここで $$\frac{du}{dt}=\sqrt{2}t$$ だから$$V=\pi \cdot \frac{1}{6\sqrt{2}}+\pi {\int }_0^1\frac{(1-t{)}^4}{2}\sqrt{2}tdt$$である。また$${\int }_0^{1}t(1-t{)}^{4}dt=\frac{1}{30}$$より$$V=\pi (\frac{\sqrt{2}}{12}+\frac{\sqrt{2}}{60})=\frac{\sqrt{2}\pi }{10}$$である。

座標軸を45度回転し、回転軸 $y=x$ を新しい $u$ 軸にする。新しい $v$ 座標が回転半径になるので、変換後の領域を図示して円板法を適用する。

$$u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},v=\frac{y-x}{\sqrt{2}}$$と座標を45度回転する。このとき $y=x$ は $v=0$、すなわち $u$ 軸になる。

点 $P=(t,t^2-t+1)$ を代入すると$$\begin{array}{cccc}& u=\frac{t^2+1}{\sqrt{2}},v=\frac{(1-t{)}^2}{\sqrt{2}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(1)
$Q$ は $P$ の $u$ 軸への正射影だから$$OQ=u=\frac{t^2+1}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$(2)
$0\leqq t\leqq 1$ では $v\geqq 0$ なので$$PQ=v=\frac{(1-t{)}^2}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$(3)
$y$ 軸上では $v=u$ となるから、$0\leqq u\leqq 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ の断面半径は $u$ である。その先は曲線 $C$ が外周を与える。(1)より $du\mathrm{/}dt=\sqrt{2}t$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}{u}^{2}du+\pi {\int }_0^1{v}^2\frac{du}{dt}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{6\sqrt{2}}+\frac{\pi }{\sqrt{2}}{\int }_0^{1}t(1-t{)}^{4}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{6\sqrt{2}}+\frac{\pi }{30\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\pi }{10}\mathrm{.}}\end{array}$$