岡山大学 2019年度 前期 数学I・II・A・B／数学I理系数学 第4問

(1)
交点の $x$ 座標は$$2x^2+4x+3=-2ax-a^2$$すなわち$$2x^2+(4+2a)x+3+a^2=0$$を満たす。この二次方程式が異なる $2$ つの実数解をもてばよい。判別式を $D$ とすると$$D=(4+2a{)}^2-8(3+a^2)=4\{2-(a-2{)}^2\}$$である。したがって $D>0$ より$$2-\sqrt{2}<a<2+\sqrt{2}$$である。

(2)
交点の $x$ 座標を $\alpha ,\beta$ とし，$\alpha <\beta$ とする。$\alpha \leqq x\leqq \beta$ では直線 $L$ が放物線 $C$ の上にあるので，面積 $S$ は$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }\{(-2ax-a^2)-(2x^2+4x+3)\}dx$$である。二次式の係数が $2$ であることから$$S=\frac{2}{6}(\beta -\alpha {)}^3=\frac{1}{3}(\beta -\alpha {)}^3$$である。また$$\beta -\alpha =\sqrt{2-(a-2{)}^2}$$であるから$$S=\frac{1}{3}\{2-(a-2{)}^2{\}}^{3\mathrm{/}2}$$となる。(1)の範囲でこれは $a=2$ のとき最大となる。よって$$a=2,S=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$である。

直線と放物線の差を、交点の中央を原点とする変数で平方完成する。交点条件と面積を同じ正の量 $K=2-(a-2{)}^2$ で表し、最大化を一段で処理する。

(1)
交点では$$2x^2+(4+2a)x+3+a^2=0.$$交点の $x$ 座標の中央$$c=-\frac{a+2}{2}$$を用い、$X=x-c$ とおく。また$$K=2-(a-2{)}^2$$とおくと、直線と放物線の縦の差は$$\begin{array}{cccc}& L-C=\frac{K}{2}-2X^2\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$異なる2交点をもつための必要十分条件は $K>0$ である。したがって$$2-\sqrt{2}<a<2+\sqrt{2}\mathrm{.}$$(2)
(1)の範囲では、交点は$$X=-\frac{\sqrt{K}}{2},X=\frac{\sqrt{K}}{2}$$に対応する。(1)を積分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{K}\mathrm{/}2}^{\sqrt{K}\mathrm{/}2}(\frac{K}{2}-2X^2)dX}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{K^{3\mathrm{/}2}}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $K=2-(a-2{)}^2\leqq 2$ であり、等号は $a=2$ のときに成り立つ。よって$$a=2,S_{\max }=\frac{2\sqrt{2}}{3}\mathrm{.}$$