岡山大学 2022年度 前期文系数学 第1問

(1)
$\mathrm{A}$ の4枚が入る位置は $${}_{12}{\mathrm{C}}_4=495$$ 通りで等確率である。4枚が連続する場合，その先頭の位置は $1$ 番目から $9$ 番目までの $9$ 通りである。したがって求める確率は$$\frac{9}{495}=\frac{1}{55}$$である。

(2)
$\mathrm{A}$ 以外の8枚を並べたとき，その前後と間にできる $9$ 個の場所から $4$ 個を選んで $\mathrm{A}$ を入れれば，どの2枚の $\mathrm{A}$ も連続しない。したがって求める確率は$$\frac{{}_9{\mathrm{C}}_4}{{}_{12}{\mathrm{C}}_4}=\frac{126}{495}=\frac{14}{55}$$である。

(3)
$\mathrm{A}$ の連続した並びが生じ，かつ3枚以上は連続しない場合を数える。

長さ2の連続ブロックが1個だけある場合，そのブロックを1つのものとみなすと，$\mathrm{A}$ に関するものはブロック1個と単独2個の計3個である。これらが互いに隣り合わないように長さ11の列に置く方法は ${}_9{\mathrm{C}}_3$ 通りで，どれをブロックにするかが $3$ 通りあるから，$252$ 通りである。

長さ2の連続ブロックが2個ある場合，2個のブロックが隣り合わないように長さ10の列に置くので，${}_9{\mathrm{C}}_2=36$ 通りである。

よって有利な位置の選び方は $252+36=288$ 通りであり，求める確率は$$\frac{288}{495}=\frac{32}{55}$$である。

12枚をすべて区別し、全事象を $12!$ 通りとする。(1)(2)は
Aのカードのブロックと、A以外の8枚の間にできる9個の隙間を使う。
(3)は「隣接なし」「ちょうど3連続」「4連続」を除く余事象で求める。

(1)
4枚のAを1ブロックとみなすと、ブロックと残り8枚の並べ方が $9!$ 通り、
ブロック内の並べ方が $4!$ 通りである。したがって$$\frac{4!9!}{12!}=\frac{1}{55}\mathrm{.}$$(2)
A以外の8枚を並べると9個の隙間ができる。そのうち4個を選び、
区別された4枚のAを1枚ずつ入れるから$$\frac{8!{}_9{\mathrm{C}}_{4}4!}{12!}=\frac{14}{55}\mathrm{.}$$(3)
求める事象の余事象を、次の互いに重ならない3種類に分ける。$$\begin{array}{cc}\text{Aの並び方}& \text{確率}\\ \text{隣接するAがない}& {\displaystyle \frac{14}{55}}\\ \text{Aがちょうど3枚連続し、残り1枚は離れる}& {\displaystyle \frac{8!{}_9{\mathrm{C}}_{2}2!4!}{12!}}={\displaystyle \frac{8}{55}}\\ \text{Aが4枚連続する}& {\displaystyle \frac{1}{55}}\end{array}$$したがって求める確率は$$1-\frac{14}{55}-\frac{8}{55}-\frac{1}{55}=\frac{32}{55}\mathrm{.}$$