岡山大学 2022年度 前期文系数学 第3問

(1)
$n=1$ では $a_1=1=b_1\mathrm{/}{c}_1$ で成り立つ。ある自然数 $n$ で $a_n=b_n\mathrm{/}{c}_n$ と仮定する。このとき$$a_{n+1}=\frac{1}{2+a_n}=\frac{1}{2+\frac{b_n}{c_n}}=\frac{c_n}{b_n+2c_n}=\frac{b_{n+1}}{c_{n+1}}$$である。よって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ で $a_n=b_n\mathrm{/}{c}_n$ が成り立つ。

(2) $$\alpha b_{n+1}-c_{n+1}=\alpha c_n-(b_n+2c_n)=-b_n+(\alpha -2)c_n$$である。これが常に $\alpha b_n-c_n$ の定数倍になるためには，ある実数 $\lambda$ が存在して$$-b_n+(\alpha -2)c_n=\lambda (\alpha b_n-c_n)$$となればよい。係数を比較すると$$\begin{gathered} -1=\lambda \alpha , \\ \alpha -2=-\lambda \end{gathered}$$である。したがって $\lambda =-1\mathrm{/}\alpha$ であり，$$\alpha -2=\frac{1}{\alpha }$$から$${\alpha }^2-2\alpha -1=0$$を得る。よって$$\alpha =1\pm \sqrt{2}$$である。

(3) $$r_1=1-\sqrt{2},r_2=1+\sqrt{2}$$ とおく。(2)より$$(1+\sqrt{2})b_n-c_n=\sqrt{2}{r}_1^{n-1},$$また$$(1-\sqrt{2})b_n-c_n=-\sqrt{2}{r}_2^{n-1}$$である。これらを引くと$$2\sqrt{2}{b}_n=\sqrt{2}(r_1^{n-1}+r_2^{n-1})$$であるから$$b_n=\frac{r_1^{n-1}+r_2^{n-1}}{2}$$である。さらに$$c_n=\frac{r_1^n+r_2^n}{2}$$を得る。したがって (1)より$$a_n=\frac{b_n}{c_n}=\frac{r_1^{n-1}+r_2^{n-1}}{r_1^n+r_2^n}$$である。

(1) (2)で得られる $1\pm \sqrt{2}$ を利用して一般項の候補を作る。
その候補が初項と連立漸化式を満たすことを帰納法で確認し、
解の一意性から $b_n,c_n$ の一般項を決定する。

(1)
$n=1$ では $a_1=b_1\mathrm{/}{c}_1=1$ である。
$a_n=b_n\mathrm{/}{c}_n$ と仮定すると$$a_{n+1}=\frac{1}{2+a_n}=\frac{c_n}{b_n+2c_n}=\frac{b_{n+1}}{c_{n+1}}\mathrm{.}$$よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ で成り立つ。

(2) $$\alpha b_{n+1}-c_{n+1}=-b_n+(\alpha -2)c_n$$が $\lambda (\alpha b_n-c_n)$ に等しいための条件は$$-1=\lambda \alpha ,\alpha -2=-\lambda \mathrm{.}$$消去すると$${\alpha }^2-2\alpha -1=0,$$したがって$$\alpha =1\pm \sqrt{2}\mathrm{.}$$(3)$$r_{-}=1-\sqrt{2},r_{+}=1+\sqrt{2}$$ とおく。これらは$$r_{\pm }^2=2r_{\pm }+1$$を満たす。次の候補を考える。$$B_n=\frac{r_{-}^{n-1}+r_{+}^{n-1}}{2},C_n=\frac{r_{-}^n+r_{+}^n}{2}\mathrm{.}$$$B_1=C_1=1$ であり、上の2次方程式から$$B_{n+1}=C_n,C_{n+1}=B_n+2C_n$$が成り立つ。したがって帰納的に $b_n=B_n,c_n=C_n$ である。
(1)を用いれば$$b_n=\frac{r_{-}^{n-1}+r_{+}^{n-1}}{2},c_n=\frac{r_{-}^n+r_{+}^n}{2},$$$$a_n=\frac{r_{-}^{n-1}+r_{+}^{n-1}}{r_{-}^n+r_{+}^n}\mathrm{.}$$