岡山大学 2022年度文系数学第3問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を

$a_{1} = 1,$ $a_{n + 1} = \frac{1}{2 + a _{n}}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$

で，数列 ${b_{n}}, {c_{n}}$ を

$b_{1} = c_{1} = 1,$ $b_{n + 1} = c_{n},$ $c_{n + 1} = b_{n} + 2 c_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数 $n$ について $a_{n} = \frac{b _{n}}{c _{n}}$ が成り立つことを示せ．

(2)　数列 ${α b_{n} - c_{n}}$ が等比数列となるような実数 $α$ をすべて求めよ．

(3)　数列 ${a_{n}},$ ${b_{n}}, {c_{n}}$ の一般項をそれぞれ求めよ．

出典：岡山大学 2022年度前期文系第3問

方針

解法1（等比数列を2本作って連立する方法）

(1)は帰納法で $a_{n} = b_{n} / c_{n}$ を示す。(2)は $α b_{n + 1} - c_{n + 1}$ を $b_{n}, c_{n}$ で表し， $α b_{n} - c_{n}$ の定数倍になる条件を係数比較で求める。(3)は(2)で得た2つの等比数列を連立して $b_{n}, c_{n}$ を求める。

解法2（一般項の候補を帰納法で直接確かめる方法）

(1)(2)で得られる $1 \pm 2$ を利用して一般項の候補を作る。その候補が初項と連立漸化式を満たすことを帰納法で確認し、解の一意性から $b_{n}, c_{n}$ の一般項を決定する。

解答

解法1（等比数列を2本作って連立する方法）

(1)

$n = 1$ では $a_{1} = 1 = b_{1} / c_{1}$ で成り立つ。ある自然数 $n$ で $a_{n} = b_{n} / c_{n}$ と仮定する。このとき

a_{n + 1} = \frac{1}{2 + a _{n}} = \frac{1}{2 + \frac{b _{n}}{c _{n}}} = \frac{c _{n}}{b _{n} + 2 c _{n}} = \frac{b _{n + 1}}{c _{n + 1}}

である。よって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ で $a_{n} = b_{n} / c_{n}$ が成り立つ。

(2)

α b_{n + 1} - c_{n + 1} = α c_{n} - (b_{n} + 2 c_{n}) = - b_{n} + (α - 2) c_{n}

である。これが常に $α b_{n} - c_{n}$ の定数倍になるためには，ある実数 $λ$ が存在して

- b_{n} + (α - 2) c_{n} = λ (α b_{n} - c_{n})

となればよい。係数を比較すると

- 1 = λ α, α - 2 = - λ

である。したがって $λ = - 1/ α$ であり，

α - 2 = \frac{1}{α}

から

α^{2} - 2 α - 1 = 0

を得る。よって

α = 1 \pm 2

である。

(3)

$r_{1} = 1 - 2, r_{2} = 1 + 2$ とおく。(2)より

(1 + 2) b_{n} - c_{n} = 2 r_{1}^{n - 1},

また

(1 - 2) b_{n} - c_{n} = - 2 r_{2}^{n - 1}

である。これらを引くと

22 b_{n} = 2 (r_{1}^{n - 1} + r_{2}^{n - 1})

であるから

b_{n} = \frac{r _{1}^{n - 1} + r _{2}^{n - 1}}{2}

である。さらに

c_{n} = \frac{r _{1}^{n} + r _{2}^{n}}{2}

を得る。したがって (1)より

a_{n} = \frac{b _{n}}{c _{n}} = \frac{r _{1}^{n - 1} + r _{2}^{n - 1}}{r _{1}^{n} + r _{2}^{n}}

である。

解法2（一般項の候補を帰納法で直接確かめる方法）

(1)

$n = 1$ では $a_{1} = b_{1} / c_{1} = 1$ である。 $a_{n} = b_{n} / c_{n}$ と仮定すると

a_{n + 1} = \frac{1}{2 + a _{n}} = \frac{c _{n}}{b _{n} + 2 c _{n}} = \frac{b _{n + 1}}{c _{n + 1}} .

よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ で成り立つ。

(2)

α b_{n + 1} - c_{n + 1} = - b_{n} + (α - 2) c_{n}

が $λ (α b_{n} - c_{n})$ に等しいための条件は

- 1 = λ α, α - 2 = - λ .

消去すると

α^{2} - 2 α - 1 = 0,

したがって

α = 1 \pm 2 .

(3)

$r_{-} = 1 - 2, r_{+} = 1 + 2$ とおく。これらは

r_{\pm}^{2} = 2 r_{\pm} + 1

を満たす。次の候補を考える。

B_{n} = \frac{r _{-}^{n - 1} + r _{+}^{n - 1}}{2}, C_{n} = \frac{r _{-}^{n} + r _{+}^{n}}{2} .

$B_{1} = C_{1} = 1$ であり、上の2次方程式から

B_{n + 1} = C_{n}, C_{n + 1} = B_{n} + 2 C_{n}

が成り立つ。したがって帰納的に $b_{n} = B_{n}, c_{n} = C_{n}$ である。(1)を用いれば

b_{n} = \frac{r _{-}^{n - 1} + r _{+}^{n - 1}}{2}, c_{n} = \frac{r _{-}^{n} + r _{+}^{n}}{2},

a_{n} = \frac{r _{-}^{n - 1} + r _{+}^{n - 1}}{r _{-}^{n} + r _{+}^{n}} .

岡山大学 2022年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（等比数列を2本作って連立する方法）

解法2（一般項の候補を帰納法で直接確かめる方法）

解答

解法1（等比数列を2本作って連立する方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（一般項の候補を帰納法で直接確かめる方法）

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2022年度
文系数学第3問