岡山大学 2022年度文系数学第2問解答・解説

問題

三角形 $A B C$ において，各辺の長さを $B C = a,$ $C A = b,$ $A B = c$ とし， $a^{2} = 5 - 2 - 6,$ $b^{2} = 1,$ $c^{2} = 4$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $cos ∠ B A C$ の値を求めよ．

(2)　三角形 $A B C$ の面積 $S$ を求めよ．

(3)　 $∠ B A C$ の大きさを求めよ．

出典：岡山大学 2022年度前期文系第2問

方針

解法1（余弦定理から三角比を求める方法）

余弦定理で $cos ∠ B A C$ を求める。得られた値が $cos 1 5^{\circ}$ の形であることを確認し，面積は $\frac{1}{2} b c sin A$ を使う。

解法2（複角公式から角を特定する方法）

余弦定理で $cos A$ を求めた後、平方して $sin A$ を正確に出す。最後に $cos (π /4 - π /6)$ と照合して角そのものを決定する。

解答

解法1（余弦定理から三角比を求める方法）

(1)

余弦定理より

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos ∠ B A C

である。 $b = 1, c = 2$ なので

5 - 2 - 6 = 5 - 4 cos ∠ B A C

となる。したがって

cos ∠ B A C = \frac{6 + 2}{4}

である。

(2)

(1)の値は $cos \frac{π}{12}$ であるから， $0 < ∠ B A C < π$ より

sin ∠ B A C = sin \frac{π}{12} = \frac{6 - 2}{4}

である。よって面積は

S = \frac{1}{2} b c sin ∠ B A C = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{6 - 2}{4} = \frac{6 - 2}{4}

である。

(3)

$0 < ∠ B A C < π$ で，

cos ∠ B A C = \frac{6 + 2}{4} = cos \frac{π}{12}

である。したがって

∠ B A C = \frac{π}{12}

である。

解法2（複角公式から角を特定する方法）

(1)

$A = ∠ B A C$ とおく。余弦定理より

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{1 + 4 - ( 5 - 2 - 6 )}{4} = \frac{6 + 2}{4} .

(2)

三角形の内角なので $sin A > 0$ である。(1)から

sin^{2} A = 1 - (\frac{6 + 2}{4})^{2} = (\frac{6 - 2}{4})^{2} .

よって

S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{6 - 2}{4} .

(3)

加法定理より

cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) = \frac{6 + 2}{4} .

$0 < A < π$ における余弦の単調性から

A = \frac{π}{12} .

岡山大学 2022年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1（余弦定理から三角比を求める方法）

解法2（複角公式から角を特定する方法）

解答

解法1（余弦定理から三角比を求める方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（複角公式から角を特定する方法）

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2022年度
文系数学第2問