岡山大学 2022年度 前期文系数学 第2問

(1)
余弦定理より$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \mathrm{\angle }BAC$$である。$b=1,c=2$ なので$$5-\sqrt{2}-\sqrt{6}=5-4\cos \mathrm{\angle }BAC$$となる。したがって$$\cos \mathrm{\angle }BAC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$である。

(2)
(1)の値は $\cos \frac{\pi }{12}$ であるから，$0<\mathrm{\angle }BAC<\pi$ より$$\sin \mathrm{\angle }BAC=\sin \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$である。よって面積は$$S=\frac{1}{2}bc\sin \mathrm{\angle }BAC=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$である。

(3)
$0<\mathrm{\angle }BAC<\pi$ で，$$\cos \mathrm{\angle }BAC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\cos \frac{\pi }{12}$$である。したがって$$\mathrm{\angle }BAC=\frac{\pi }{12}$$である。

余弦定理で $\cos A$ を求めた後、平方して $\sin A$ を正確に出す。
最後に $\cos (\pi \mathrm{/}4-\pi \mathrm{/}6)$ と照合して角そのものを決定する。

(1)
$A=\mathrm{\angle }BAC$ とおく。余弦定理より$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1+4-(5-\sqrt{2}-\sqrt{6})}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\mathrm{.}$$(2)
三角形の内角なので $\sin A>0$ である。(1)から$${\sin }^{2}A=1-{\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)}^2\mathrm{.}$$よって$$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\mathrm{.}$$(3)
加法定理より$$\cos (\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\mathrm{.}$$$0<A<\pi$ における余弦の単調性から$$A=\frac{\pi }{12}\mathrm{.}$$