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岡山大学 2022年度 前期理系数学 第3問

lを正の実数とし，四面体OABCにおいて，各辺の長さを

OA=12l,OB=OC=l,AB=CA=l,BC=2l

とする．OA→=a⃗,OB→=b⃗,OC→=c⃗とし，点HはOH→=34a⃗+18b⃗+18c⃗を満たすとする．以下の問いに答えよ．

(1) 点Hは3点A,B,Cが定める平面上に存在することを示せ．

(2) ∣OH→∣の値を求めよ．

(3) ∠OHBの大きさを求めよ．

(4) 四面体OABCの体積Vを求めよ．

難易度5/ 10計算量5/ 10目安18分

ベクトル　内積の利用、ベクトル成分計算、図形的解釈、計算整理

方針

与えられた辺の長さから a⃗,b⃗,c⃗ の内積を求める。H は係数和が1なので平面ABC上にあり，∣OH∣ と角度は内積で計算する。体積は OH が平面ABCに垂直であることを内積で確認し，底面積と高さから求める。

解答

(1) OH→=34a⃗+18b⃗+18c⃗であり，係数の和は34+18+18=1である。したがって H は3点 A,B,C が定める平面上に存在する。

(2)
辺の長さより∣a⃗∣=l2,∣b⃗∣=∣c⃗∣=lである。また AB=l,CA=l,BC=2l からa⃗⋅b⃗=l28,a⃗⋅c⃗=l28,b⃗⋅c⃗=0を得る。よって∣OH→∣2=∣34a⃗+18b⃗+18c⃗∣2=732l2である。したがって∣OH→∣=148lである。

(3) h⃗=OH→ とおく。するとh⃗⋅b⃗=34a⃗⋅b⃗+18b⃗⋅b⃗+18c⃗⋅b⃗=732l2であり，(2)より h⃗⋅h⃗=7l2/32 である。したがってHO→⋅HB→=(−h⃗)⋅(b⃗−h⃗)=−h⃗⋅b⃗+h⃗⋅h⃗=0である。よって∠OHB=π2である。

(4)
同様に h⃗⋅a⃗=h⃗⋅c⃗=7l2/32 であるから，OH は HA,HB,HC のいずれにも垂直である。よって OH は平面 ABC に垂直で，四面体の高さである。

三角形 ABC は AB=AC=l,BC=2l なので，∠BAC=π/2 である。したがって底面積は l2/2 である。ゆえに体積はV=13⋅l22⋅148l=1448l3である。

別解

解法2（直交座標を設定して行列式で体積を出す方法）

方針

b⃗⊥c⃗ を利用してBとCを座標軸上に置く。
AとHの座標を定め、長さ・直角条件・体積を一続きに計算する。

解答

(1) AH→=−14a⃗+18b⃗+18c⃗=18AB→+18AC→.よって H は平面 ABC 上にある。

(2)
辺長から b⃗⋅c⃗=0 なのでB=(l,0,0),C=(0,l,0)と置ける。さらに OA=l/2,a⃗⋅b⃗=a⃗⋅c⃗=l2/8 よりA=(l8,l8,148l),H=34A+18B+18C=(7l32,7l32,314l32),∣OH∣2=2(7l32)2+(314l32)2=7l232.したがって ∣OH∣=148l である。

(3) h⃗=OH→ とおくと、座標からh⃗⋅h⃗=7l232,h⃗⋅b⃗=7l232,HO→⋅HB→=(−h⃗)⋅(b⃗−h⃗)=0.したがって ∠OHB=π2 である。

(4)
四面体の体積は平行六面体の体積の 1/6 だからV=16∣det⁡(a⃗,b⃗,c⃗)∣=1448l3.

総評

難度5，計算量5。想定時間は18分程度。内積計算で高さまで出す空間ベクトルの標準問題である。係数和が1であること，OH が平面ABCに垂直であることを内積で確認する点が採点上の柱になる。 岡山大学2022年度資料17頁と独立本文を照合し、結論・設問番号・計算過程を再確認した。

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出典: 岡山大学 2022年度 前期 理系数学 第3問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。