問題
に対して
とおく．ただし，対数は自然対数とする．以下の問いに答えよ．
(1) のとき，であることを示せ．
(2) のとき，であることを示せ．
(3) が以上の整数のとき，不等式
が成り立つことを示せ．
出典：岡山大学 2022年度 前期 理系 第4問
方針
解法1（導関数の増減から単調性を示す方法）
まず を計算し，さらに の増減を調べて を示す。(2)は と単調増加性から従う。(3)は として，(2)を と に適用し，対数をとった不等式に直す。
解法2（対数の積分表示で導関数を評価する方法）
を求め、 と に分けて対数の積分表示から正値性を示し、 の符号を使う。
解答
解法1（導関数の増減から単調性を示す方法）
(1)
である。 とおくと
である。 では ， では であり， である。したがって で
である。
(2)
であり，(1)より は で増加する。また では となる区間を通るので， なら ， なら である。よって
である。
(3)
とおくと， である。(2)より だから
である。したがって
であり，これは
を意味する。
また (2)より であるから
である。これは
と同値であり，さらに
と同値である。 を戻すと
である。以上より
が成り立つ。
解法2（対数の積分表示で導関数を評価する方法）
(1)
なら
また なら
以上より である。
(2)
かつ は狭義単調増加だから、 と は同符号であり、 である。
(3)
とおく。 より
一方、 と から
以上より題意の不等式が成り立つ。