岡山大学 2022年度 前期 文理共通理系数学 第4問

(1)
曲線の式は$$y=x^3+2x^2+2+a(x^2+2x)$$と書ける。$a$ によらない定点では $x^2+2x=0$ であるから，$x=0,-2$ である。それぞれ $y=2$ となるので，求める2点は$$(-2,2),(0,2)$$である。

(2)
(1)より $A=(-2,2),B=(0,2)$ であり，直線 $L$ は $y=2$ である。曲線 $C$ と $L$ の交点は$$x^3+(a+2)x^2+2ax+2=2$$すなわち$$x(x+2)(x+a)=0$$で決まる。異なる3点で交わり，すべて線分 $AB$ 上にあるためには，3つ目の根 $-a$ が $-2$ と $0$ の間にあればよい。したがって$$0<a<2$$である。

(3)
$0<a<2$ とする。$C-L$ は$$x(x+2)(x+a)$$であり，$-2<x<-a$ で正，$-a<x<0$ で負である。原始関数を$$F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{a+2}{3}{x}^3+a{x}^2$$とおくと$$S(a)=\{F(-a)-F(-2)\}-\{F(0)-F(-a)\}$$である。計算すると$$S(a)=\frac{-a^4+4a^3-8a+8}{6}$$である。よって$$S^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{-4a^3+12a^2-8}{6}=-\frac{2}{3}(a-1)(a^2-2a-2)$$である。$0<a<2$ では $a^2-2a-2<0$ であるから，$S(a)$ は $0<a<1$ で減少し，$1<a<2$ で増加する。したがって最小は $a=1$ のときで，$$S(1)=\frac{1}{2}$$である。

定点と交点条件を求めた後、$u=x+1,t=1-a$ と置く。
3つの交点が $-1,t,1$ となるため、面積を $t^2$ の式へ整理すると
最小値を微分せずに決定できる。

(1) $$y=x^3+2x^2+2+a(x^2+2x)$$だから、$a$ によらない点では $x(x+2)=0$ である。よって$$A=(-2,2),B=(0,2)\mathrm{.}$$(2)
$L$ は $y=2$ であり、$$C-L=x(x+2)(x+a)\mathrm{.}$$3根 $-2,-a,0$ が異なり、すべて $[-2,0]$ に入る条件は$$0<a<2.$$(3)
$u=x+1,t=1-a$ とおくと $-1<t<1$ であり、$$C-L=(u^2-1)(u-t)\mathrm{.}$$交点は $u=-1,t,1$ となる。

符号を考えて2区間の面積を足すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^t(u^2-1)(u-t)du-{\int }_t^1(u^2-1)(u-t)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}+t^2-\frac{t^4}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$$z=t^2$ とおけば $0\leqq z<1$ であり、$$S(a)-\frac{1}{2}=z(1-\frac{z}{6})\geqq 0.$$等号は $t=0$、すなわち $a=1$ のときに成り立つ。よって最小値は$$\frac{1}{2}\mathrm{.}$$