岡山大学 2022年度 前期理系数学 第1問

(1)
2連勝で優勝が決まるので，$a_1=0$ である。1試合目の勝者は $A$ または $B$ であり，2試合目はその勝者と $C$ が戦う。1試合目の勝者が2試合目にも勝つ確率は $1-p$ であるから$$a_2=1-p$$である。

3試合目で決まるには，2試合目で $C$ が勝ち，3試合目でも $C$ が勝てばよいから$$a_3=p^2$$である。4試合目で決まるには，2試合目で $C$ が勝ち，3試合目で $C$ が負け，4試合目で3試合目の勝者が勝てばよい。4試合目は $A$ と $B$ の試合なので$$a_4=p(1-p)\cdot \frac{1}{2}=\frac{p(1-p)}{2}$$である。

(2)
優勝が決まらずに3試合進む確率は$$p(1-p)\cdot \frac{1}{2}=\frac{p(1-p)}{2}$$である。第 $3k$ 試合で優勝が決まるには，第3試合で $C$ が2連勝する形が $k-1$ 回分だけ後ろへずれればよい。したがって$$a_{3k}=p^2{\left(\frac{p(1-p)}{2}\right)}^{k-1}$$である。

(3)
$C$ が優勝するのは第 $3k$ 試合で優勝が決まる場合である。よって$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{p}^2{\left(\frac{p(1-p)}{2}\right)}^{k-1}=\frac{p^2}{1-\frac{p(1-p)}{2}}=\frac{2p^2}{p^2-p+2}$$である。

(4)
$p=N\mathrm{/}100$ とする。(3)より$$\frac{2p^2}{p^2-p+2}\geqq \frac{1}{3}$$であればよい。分母は正であるから$$6p^2\geqq p^2-p+2$$すなわち$$5p^2+p-2\geqq 0$$である。正の解の境界は$$p=\frac{-1+\sqrt{41}}{10}$$であり，$$0.54<(-1+\sqrt{41})\mathrm{/}10<0.55$$ である。したがって $N$ の最小値は$$55$$である。

第1試合直後の状態を基準にする。3試合を優勝者なしで通過すると、
AとBの役割が入れ替わっただけの同じ状態へ戻る。この更新確率を $q$ とし、
Cの優勝確率について再帰方程式を立てる。

(1)
第1試合では優勝者は決まらないから $a_1=0$。
第1試合の勝者を $W$、もう1人を $U$ とすると$$a_2=1-p,a_3=p^2,a_4=p(1-p)\cdot \frac{1}{2}\mathrm{.}$$(2)
状態 $S$ へ戻るには、Cが $W$ に勝ち、$U$ に負け、
最後に $W$ が $U$ に勝ればよい。したがって$$q=p(1-p)\cdot \frac{1}{2}\mathrm{.}$$第 $3k$ 試合でCが優勝するには $k-1$ 周期戻った後にCが2連勝するので$$a_{3k}=q^{k-1}{p}^2=p^2{\left(\frac{p(1-p)}{2}\right)}^{k-1}\mathrm{.}$$(3)
Cの優勝確率を $P_C$ とおく。最初の周期でCが優勝するか、
確率 $q$ で同じ状態へ戻るかだから$$P_C=p^2+q{P}_C\mathrm{.}$$よって$$P_C=\frac{p^2}{1-q}=\frac{2p^2}{p^2-p+2}\mathrm{.}$$(4)
分母は正だから$$P_C\geqq \frac{1}{3}⟺5p^2+p-2\geqq 0.$$左辺は $p>0$ で増加する。また$$5(0.54{)}^2+0.54-2=-0.002<0,$$$$5(0.55{)}^2+0.55-2=0.0625>0.$$$p=N\mathrm{/}100$ より、条件を満たす最小の自然数は$$N=55.$$