岡山大学 2022年度理系数学第1問解答・解説

問題

$A,$ $B, C$ の $3$ 人で次のルールに従って一連の試合を行い，優勝者を決定する．

・ $1$ 試合目は $A$ と $B$ が戦う．

・自然数 $n$ に対し， $n + 1$ 試合目は $n$ 試合目の勝者と $n$ 試合目に戦わなかった人が戦う．

・ $2$ 連勝した人が出た時点で，その人が優勝者となり，以後試合は行わない．

・すべての試合において，引き分けはないものとする．

$A,$ $B, C$ が互いに戦う際の勝率は次の通りとする．ただし， $p$ は $0 < p < 1$ を満たす実数とする．

・ $A$ と $B$ の試合：勝つ確率は $A$ と $B$ のどちらも $\frac{1}{2}$ である．

・ $A$ と $C$ の試合： $A$ が勝つ確率は $1 - p,$ $C$ が勝つ確率は $p$ である．

・ $B$ と $C$ の試合： $B$ が勝つ確率は $1 - p,$ $C$ が勝つ確率は $p$ である．

$n$ 試合目で優勝者が決定する確率を $a_{n}$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3}, a_{4}$ を求めよ．

(2)　自然数 $k$ に対し， $a_{3 k}$ を求めよ．

(3)　 $C$ が優勝する確率を求めよ．

(4)　 $1$ 以上 $99$ 以下の自然数 $N$ に対し $p = \frac{N}{100}$ であるとする．このとき $C$ が優勝する確率が $\frac{1}{3}$ 以上になるような $N$ の最小値を求めよ．

出典：岡山大学 2022年度前期理系第1問

方針

解法1（3試合周期を等比級数で数える方法）

優勝が決まらないときは直前の勝者が次に敗れるので，試合の種類が3試合周期で回る。第2,3,4試合で優勝が決まる確率と決まらない確率を求め，その周期を使って $a_{3 k}$ とCの優勝確率を等比級数で求める。最後は $p = N /100$ を代入して二次不等式にする。

解法2（同じ状態へ戻る確率で再帰する方法）

第1試合直後の状態を基準にする。3試合を優勝者なしで通過すると、AとBの役割が入れ替わっただけの同じ状態へ戻る。この更新確率を $q$ とし、Cの優勝確率について再帰方程式を立てる。

解答

解法1（3試合周期を等比級数で数える方法）

(1)

2連勝で優勝が決まるので， $a_{1} = 0$ である。1試合目の勝者は $A$ または $B$ であり，2試合目はその勝者と $C$ が戦う。1試合目の勝者が2試合目にも勝つ確率は $1 - p$ であるから

a_{2} = 1 - p

である。

3試合目で決まるには，2試合目で $C$ が勝ち，3試合目でも $C$ が勝てばよいから

a_{3} = p^{2}

である。4試合目で決まるには，2試合目で $C$ が勝ち，3試合目で $C$ が負け，4試合目で3試合目の勝者が勝てばよい。4試合目は $A$ と $B$ の試合なので

a_{4} = p (1 - p) \cdot \frac{1}{2} = \frac{p ( 1 - p )}{2}

である。

(2)

優勝が決まらずに3試合進む確率は

p (1 - p) \cdot \frac{1}{2} = \frac{p ( 1 - p )}{2}

である。第 $3 k$ 試合で優勝が決まるには，第3試合で $C$ が2連勝する形が $k - 1$ 回分だけ後ろへずれればよい。したがって

a_{3 k} = p^{2} (\frac{p ( 1 - p )}{2})^{k - 1}

である。

(3)

$C$ が優勝するのは第 $3 k$ 試合で優勝が決まる場合である。よって

k = 1 \sum \infty p^{2} (\frac{p ( 1 - p )}{2})^{k - 1} = \frac{p ^{2}}{1 - \frac{p ( 1 - p )}{2}} = \frac{2 p ^{2}}{p ^{2} - p + 2}

である。

(4)

$p = N /100$ とする。(3)より

\frac{2 p ^{2}}{p ^{2} - p + 2} ≧ \frac{1}{3}

であればよい。分母は正であるから

6 p^{2} ≧ p^{2} - p + 2

すなわち

5 p^{2} + p - 2 ≧ 0

である。正の解の境界は

p = \frac{- 1 + 41}{10}

であり， $0.54 < (- 1 + 41) /10 < 0.55$ である。したがって $N$ の最小値は

55

である。

解法2（同じ状態へ戻る確率で再帰する方法）

(1)

第1試合では優勝者は決まらないから $a_{1} = 0$ 。第1試合の勝者を $W$ 、もう1人を $U$ とすると

a_{2} = 1 - p, a_{3} = p^{2}, a_{4} = p (1 - p) \cdot \frac{1}{2} .

(2)

状態 $S$ へ戻るには、Cが $W$ に勝ち、 $U$ に負け、最後に $W$ が $U$ に勝ればよい。したがって

q = p (1 - p) \cdot \frac{1}{2} .

第 $3 k$ 試合でCが優勝するには $k - 1$ 周期戻った後にCが2連勝するので

a_{3 k} = q^{k - 1} p^{2} = p^{2} (\frac{p ( 1 - p )}{2})^{k - 1} .

(3)

Cの優勝確率を $P_{C}$ とおく。最初の周期でCが優勝するか、確率 $q$ で同じ状態へ戻るかだから

P_{C} = p^{2} + q P_{C} .

よって

P_{C} = \frac{p ^{2}}{1 - q} = \frac{2 p ^{2}}{p ^{2} - p + 2} .

(4)

分母は正だから

P_{C} ≧ \frac{1}{3} ⟺ 5 p^{2} + p - 2 ≧ 0.

左辺は $p > 0$ で増加する。また

5 (0.54)^{2} + 0.54 - 2 = - 0.002 < 0,

5 (0.55)^{2} + 0.55 - 2 = 0.0625 > 0.

$p = N /100$ より、条件を満たす最小の自然数は

N = 55.

岡山大学 2022年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1（3試合周期を等比級数で数える方法）

解法2（同じ状態へ戻る確率で再帰する方法）

解答

解法1（3試合周期を等比級数で数える方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（同じ状態へ戻る確率で再帰する方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

岡山大学 2022年度
理系数学第1問