岡山大学 2023年度 前期文系数学 第1問

(1)
点 $P(s,s^2)$ における接線の傾きは $2s$ である。したがって法線 $l_P$ の傾きは $-1\mathrm{/}(2s)$ であり，$$l_P:y-s^2=-\frac{1}{2s}(x-s)$$である。

(2)
点 $Q(t,t^2)$ における法線の傾きは $-1\mathrm{/}(2t)$ である。$l_P$ と $l_Q$ が垂直であるから$$(-\frac{1}{2s})(-\frac{1}{2t})=-1$$となり，$st=-1\mathrm{/}4$ である。よって $t=-1\mathrm{/}(4s)$ である。したがって$$l_Q:y-\frac{1}{16s^2}=2s(x+\frac{1}{4s})$$すなわち$$l_Q:y=2sx+\frac{1}{2}+\frac{1}{16s^2}$$である。

(3)
(1)より$$l_P:y=-\frac{x}{2s}+s^2+\frac{1}{2}$$である。これと(2)の式を連立すると$$-\frac{x_0}{2s}+s^2=2s{x}_0+\frac{1}{16s^2}$$であるから$$x_0=\frac{4s^2-1}{8s}$$である。これを $l_Q$ に代入して$$y_0=s^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{16s^2}$$を得る。

(4)
$s<0$ であるから $s^2>0$ である。相加相乗平均より$$s^2+\frac{1}{16s^2}\geqq 2\sqrt{s^2\cdot \frac{1}{16s^2}}=\frac{1}{2}$$であり，等号は $s^2=1\mathrm{/}4$ のときに成り立つ。$s<0$ より，求める値は$$s=-\frac{1}{2}$$である。

放物線上の点 $(u,u^2)$ における接線方向は $(1,2u)$ なので、法線方向を $(2u,-1)$ と取る。方向ベクトルの内積から $st$ を求め、交点は2本の直線の内積表示で計算する。最後は平方の非負性だけで最小を決める。

放物線 $y=x^2$ の点 $(u,u^2)$ における接線の方向ベクトルは
$(1,2u)$ である。これに垂直な$$(2u,-1)$$を法線の方向ベクトルにとれる。

(1)
$l_P$ は $P=(s,s^2)$ を通り、接線方向 $(1,2s)$ と垂直だから$$(1,2s)\cdot (x-s,y-s^2)=0.$$すなわち$$l_P:x+2sy=s+2s^3,$$または$$y-s^2=-\frac{1}{2s}(x-s)\mathrm{.}$$(2)
$l_P,l_Q$ の方向ベクトルはそれぞれ$$(2s,-1),(2t,-1)$$である。両直線が垂直だから$$(2s,-1)\cdot (2t,-1)=4st+1=0.$$よって$$t=-\frac{1}{4s}\mathrm{.}$$$l_Q$ の内積表示$$x+2ty=t+2t^3$$へ代入すると$$l_Q:x-\frac{y}{2s}=-\frac{1}{4s}-\frac{1}{32s^3}\mathrm{.}$$これを $y$ について解けば$$l_Q:y=2sx+\frac{1}{2}+\frac{1}{16s^2}\mathrm{.}$$(3)$$x+2sy=s+2s^3,x-\frac{y}{2s}=-\frac{1}{4s}-\frac{1}{32s^3}$$を連立して整理すると$$x_0=\frac{4s^2-1}{8s},y_0=s^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{16s^2}\mathrm{.}$$(4)
$s\mathrm{\ne }0$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y_0}& {\displaystyle =\frac{3}{4}+(s^2-\frac{1}{2}+\frac{1}{16s^2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{4}+\frac{(4s^2-1{)}^2}{16s^2}\geqq \frac{3}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$等号は $4s^2=1$ のときである。$s<0$ より$$s=-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$