岡山大学 2023年度文系数学第1問解答・解説

問題

放物線 $C : y = x^{2}$ 上を動く $2$ 点 $P$ $(s, s^{2}),$ $Q$ $(t, t^{2})$ を考える．ただし， $s < 0 < t$ とする． $P$ を通り， $P$ における $C$ の接線と垂直に交わる直線を $l_{P}$ とする．また， $Q$ を通り， $Q$ における $C$ の接線と垂直に交わる直線を $l_{Q}$ とする．さらに， $l_{Q}$ は $l_{P}$ と垂直に交わるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $l_{P}$ の方程式を $s$ を用いて表せ．

(2)　 $l_{Q}$ の方程式を $s$ を用いて表せ．

(3)　 $l_{P}$ と $l_{Q}$ の交点を $R$ $(x_{0}, y_{0})$ とする． $x_{0}, y_{0}$ を $s$ を用いて表せ．

(4)　(3)の $y_{0}$ が最小となる $s$ の値を求めよ．

出典：岡山大学 2023年度前期文系第1問

方針

解法1

放物線の接線の傾きから法線の傾きを求める。2本の法線が垂直である条件から $s t = - 1/4$ を得て $t$ を消去し，交点を $s$ で表す。最後は $s^{2} + 1/ (16 s^{2})$ の最小を相加相乗平均で求める。

解法2（法線の方向ベクトルと平方完成を使う方法）

放物線上の点 $(u, u^{2})$ における接線方向は $(1, 2 u)$ なので、法線方向を $(2 u, - 1)$ と取る。方向ベクトルの内積から $s t$ を求め、交点は2本の直線の内積表示で計算する。最後は平方の非負性だけで最小を決める。

解答

解法1

(1)

点 $P (s, s^{2})$ における接線の傾きは $2 s$ である。したがって法線 $l_{P}$ の傾きは $- 1/ (2 s)$ であり，

l_{P} : y - s^{2} = - \frac{1}{2 s} (x - s)

である。

(2)

点 $Q (t, t^{2})$ における法線の傾きは $- 1/ (2 t)$ である。 $l_{P}$ と $l_{Q}$ が垂直であるから

(- \frac{1}{2 s}) (- \frac{1}{2 t}) = - 1

となり， $s t = - 1/4$ である。よって $t = - 1/ (4 s)$ である。したがって

l_{Q} : y - \frac{1}{16 s ^{2}} = 2 s (x + \frac{1}{4 s})

すなわち

l_{Q} : y = 2 s x + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 s ^{2}}

である。

(3)

(1)より

l_{P} : y = - \frac{x}{2 s} + s^{2} + \frac{1}{2}

である。これと(2)の式を連立すると

- \frac{x _{0}}{2 s} + s^{2} = 2 s x_{0} + \frac{1}{16 s ^{2}}

であるから

x_{0} = \frac{4 s ^{2} - 1}{8 s}

である。これを $l_{Q}$ に代入して

y_{0} = s^{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16 s ^{2}}

を得る。

(4)

$s < 0$ であるから $s^{2} > 0$ である。相加相乗平均より

s^{2} + \frac{1}{16 s ^{2}} ≧ 2 s^{2} \cdot \frac{1}{16 s ^{2}} = \frac{1}{2}

であり，等号は $s^{2} = 1/4$ のときに成り立つ。 $s < 0$ より，求める値は

s = - \frac{1}{2}

である。

解法2（法線の方向ベクトルと平方完成を使う方法）

放物線 $y = x^{2}$ の点 $(u, u^{2})$ における接線の方向ベクトルは $(1, 2 u)$ である。これに垂直な

(2 u, - 1)

を法線の方向ベクトルにとれる。

(1)

$l_{P}$ は $P = (s, s^{2})$ を通り、接線方向 $(1, 2 s)$ と垂直だから

(1, 2 s) \cdot (x - s, y - s^{2}) = 0.

すなわち

l_{P} : x + 2 sy = s + 2 s^{3},

または

y - s^{2} = - \frac{1}{2 s} (x - s) .

(2)

$l_{P}, l_{Q}$ の方向ベクトルはそれぞれ

(2 s, - 1), (2 t, - 1)

である。両直線が垂直だから

(2 s, - 1) \cdot (2 t, - 1) = 4 s t + 1 = 0.

よって

t = - \frac{1}{4 s} .

$l_{Q}$ の内積表示

x + 2 t y = t + 2 t^{3}

へ代入すると

l_{Q} : x - \frac{y}{2 s} = - \frac{1}{4 s} - \frac{1}{32 s ^{3}} .

これを $y$ について解けば

l_{Q} : y = 2 s x + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 s ^{2}} .

(3)

x + 2 sy = s + 2 s^{3}, x - \frac{y}{2 s} = - \frac{1}{4 s} - \frac{1}{32 s ^{3}}

を連立して整理すると

x_{0} = \frac{4 s ^{2} - 1}{8 s}, y_{0} = s^{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16 s ^{2}} .

(4)

$s \neq = 0$ だから

y_{0} = \frac{3}{4} + (s^{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{16 s ^{2}}) = \frac{3}{4} + \frac{( 4 s ^{2} - 1 ) ^{2}}{16 s ^{2}} ≧ \frac{3}{4} .

等号は $4 s^{2} = 1$ のときである。 $s < 0$ より

s = - \frac{1}{2} .

岡山大学 2023年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2（法線の方向ベクトルと平方完成を使う方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（法線の方向ベクトルと平方完成を使う方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

岡山大学 2023年度
文系数学第1問