岡山大学 2023年度 前期文系数学 第2問

(1)
漸化式より$$a_n=7^{n-1}$$である。$a_n$ が $89$ 桁である条件は$${10}^{88}\leqq 7^{n-1}<{10}^{89}$$である。常用対数をとると$$88\leqq 0.8451(n-1)<89$$である。$104\cdot 0.8451=87.8904$，$105\cdot 0.8451=88.7355$，$106\cdot 0.8451=89.5806$ より，$n-1=105$ である。したがって$$n=106$$である。

(2)
このとき $a_n=7^{105}$ である。$7^m$ の1の位は $7,9,3,1$ を周期 $4$ として繰り返す。$105\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ より，1の位の数字は $7$ である。

(3) $${\log }_{10}{7}^{105}=88.7355$$ である。${\log }_{10}5=0.6990$，${\log }_{10}6=0.7781$ だから$${\log }_{10}5<0.7355<{\log }_{10}6$$である。よって $5<{10}^{0.7355}<6$ となるので，最高位の数字は $5$ である。

帰納的に $a_n=7^{n-1}$ を確かめ、指数 $m=n-1$ を主役にする。桁数から $m$ を決めた後、同じ整数 $7^{105}$ に対して合同式と常用対数の上下評価を適用する。

漸化式から、数学的帰納法により$$a_n=7^{n-1}$$である。以下 $m=n-1$ とおく。

(1)
$a_n$ が89桁であるための必要十分条件は$${10}^{88}\leqq 7^m<{10}^{89},$$すなわち$$88\leqq 0.8451m<89$$である。$$104\cdot 0.8451=87.8904,105\cdot 0.8451=88.7355,106\cdot 0.8451=89.5806$$より $m=105$ である。したがって$$n=m+1=106.$$(2)
このとき $a_n=7^{105}$ である。$$7^{105}=7(7^2{)}^{52}\equiv 7(-1{)}^{52}\equiv 7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)$$より、1の位の数字は $7$ である。

(3) $${\log }_{10}{7}^{105}=105\cdot 0.8451=\mathrm{88.7355.}$$また$${\log }_{10}5=0.6990<0.7355<0.7781={\log }_{10}6.$$よって$$5\cdot {10}^{88}<7^{105}<6\cdot {10}^{88}$$となり、最高位の数字は $5$ である。