岡山大学 2023年度文系数学第3問解答・解説

問題

座標空間において， $3$ 点 $O$ $(0, 0, 0),$ $A$ $(1, 1, 0),$ $B$ $(1, - 1, 0)$ がある． $r$ を正の実数とし，点 $P$ $(a, b, c)$ が条件 $A P = B P = r O P$ を満たしながら動くとする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $r = 1$ のとき， $O P$ が最小になるような $a,$ $b, c$ を求めよ．

(2)　 $r = \frac{3}{2}$ のとき， $a$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　 $r = \frac{3}{2}$ のとき，内積 $O P \cdot A P$ の最大値と最小値を求めよ．

出典：岡山大学 2023年度前期文系第3問

方針

解法1

$A P = B P$ からまず $b = 0$ を導く。残りの条件を $a, c$ の方程式に直し， $r = 1$ と $r = 3 /2$ をそれぞれ代入する。内積は円の方程式で $c^{2}$ を消去して $a$ の一次式にする。

解法2（アポロニウス円を媒介変数表示する方法）

$A P = B P$ の対称性から運動は平面 $b = 0$ に限られる。 $r = 3 /2$ では条件が $a c$ 平面上の円になるので、円を $cos ϕ, sin ϕ$ で媒介表示し、 $a$ の範囲と内積の最大・最小を同時に読む。

解答

解法1

(1)

$A P = B P$ より

(a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2}

であるから， $b = 0$ である。さらに $r = 1$ のとき $A P = O P$ より

(a - 1)^{2} + 1 + c^{2} = a^{2} + c^{2}

となる。したがって $a = 1$ である。このとき $O P^{2} = 1 + c^{2}$ であるから，最小となるのは $c = 0$ のときである。よって

a = 1, b = 0, c = 0

である。

(2)

$r = 3 /2$ のとき， $b = 0$ と $A P = r O P$ より

(a - 1)^{2} + 1 + c^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + c^{2})

である。整理して

(a - 4)^{2} + c^{2} = 8

を得る。したがって $a$ のとりうる値の範囲は

4 - 22 ≦ a ≦ 4 + 22

である。

(3)

$b = 0$ であるから

O P \cdot A P = (a, 0, c) \cdot (a - 1, - 1, c) = a^{2} - a + c^{2}

である。(2)より $c^{2} = 8 - (a - 4)^{2}$ なので

O P \cdot A P = a^{2} - a + 8 - (a - 4)^{2} = 7 a - 8

である。これは $a$ の一次式であるから，(2)の範囲の両端で最小値と最大値をとる。よって

min = 20 - 142, max = 20 + 142

である。

解法2（アポロニウス円を媒介変数表示する方法）

(1)

$A P^{2} = B P^{2}$ の両辺を引くと

(b - 1)^{2} - (b + 1)^{2} = - 4 b = 0

だから $b = 0$ である。 $r = 1$ では $A P^{2} = O P^{2}$ より

(a - 1)^{2} + 1 + c^{2} = a^{2} + c^{2},

したがって $a = 1$ である。このとき

O P^{2} = 1 + c^{2}

なので、最小となるのは $c = 0$ のときである。よって

(a, b, c) = (1, 0, 0) .

(2)

$r = 3 /2$ では

(a - 1)^{2} + 1 + c^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + c^{2}) .

整理すると

(a - 4)^{2} + c^{2} = 8. (1)

これは $a c$ 平面で中心 $(4, 0)$ 、半径 $22$ の円である。

したがって媒介変数 $ϕ$ を用いて

a = 4 + 22 cos ϕ, c = 22 sin ϕ

と表せる。ゆえに

4 - 22 ≦ a ≦ 4 + 22 .

(3)

$b = 0$ だから

O P \cdot A P = a (a - 1) + c^{2} .

(1)から $a^{2} + c^{2} = 8 a - 8$ であるため

O P \cdot A P = 7 a - 8 = 20 + 142 cos ϕ .

$- 1 ≦ cos ϕ ≦ 1$ より

最大値 20 + 142, 最小値 20 - 142 .

岡山大学 2023年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2（アポロニウス円を媒介変数表示する方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（アポロニウス円を媒介変数表示する方法）

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2023年度
文系数学第3問