岡山大学 2023年度 前期文系数学 第3問

(1)
$AP=BP$ より$$(a-1{)}^2+(b-1{)}^2+c^2=(a-1{)}^2+(b+1{)}^2+c^2$$であるから，$b=0$ である。さらに $r=1$ のとき $AP=OP$ より$$(a-1{)}^2+1+c^2=a^2+c^2$$となる。したがって $a=1$ である。このとき $O{P}^2=1+c^2$ であるから，最小となるのは $c=0$ のときである。よって$$a=1,b=0,c=0$$である。

(2)
$r=\sqrt{3}\mathrm{/}2$ のとき，$b=0$ と $AP=rOP$ より$$(a-1{)}^2+1+c^2=\frac{3}{4}(a^2+c^2)$$である。整理して$$(a-4{)}^2+c^2=8$$を得る。したがって $a$ のとりうる値の範囲は$$4-2\sqrt{2}\leqq a\leqq 4+2\sqrt{2}$$である。

(3)
$b=0$ であるから$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AP}=(a,0,c)\cdot (a-1,-1,c)=a^2-a+c^2$$である。(2)より $c^2=8-(a-4{)}^2$ なので$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AP}=a^2-a+8-(a-4{)}^2=7a-8$$である。これは $a$ の一次式であるから，(2)の範囲の両端で最小値と最大値をとる。よって$$\min =20-14\sqrt{2},\max =20+14\sqrt{2}$$である。

$AP=BP$ の対称性から運動は平面 $b=0$ に限られる。$r=\sqrt{3}\mathrm{/}2$ では条件が $ac$ 平面上の円になるので、円を $\cos \varphi ,\sin \varphi$ で媒介表示し、$a$ の範囲と内積の最大・最小を同時に読む。

(1)
$A{P}^2=B{P}^2$ の両辺を引くと$$(b-1{)}^2-(b+1{)}^2=-4b=0$$だから $b=0$ である。$r=1$ では $A{P}^2=O{P}^2$ より$$(a-1{)}^2+1+c^2=a^2+c^2,$$したがって $a=1$ である。このとき$$O{P}^2=1+c^2$$なので、最小となるのは $c=0$ のときである。よって$$(a,b,c)=(1,0,0)\mathrm{.}$$(2)
$r=\sqrt{3}\mathrm{/}2$ では$$(a-1{)}^2+1+c^2=\frac{3}{4}(a^2+c^2)\mathrm{.}$$整理すると$$\begin{array}{cccc}& (a-4{)}^2+c^2=8.& & \text{(1)}\end{array}$$これは $ac$ 平面で中心 $(4,0)$、半径 $2\sqrt{2}$ の円である。したがって媒介変数 $\varphi$ を用いて$$a=4+2\sqrt{2}\cos \varphi ,c=2\sqrt{2}\sin \varphi$$と表せる。ゆえに$$4-2\sqrt{2}\leqq a\leqq 4+2\sqrt{2}\mathrm{.}$$(3)
$b=0$ だから$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AP}=a(a-1)+c^2\mathrm{.}$$(1)から $a^2+c^2=8a-8$ であるため$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AP}=7a-8=20+14\sqrt{2}\cos \varphi \mathrm{.}$$$-1\leqq \cos \varphi \leqq 1$ より$$\text{最大値 }20+14\sqrt{2},\text{最小値 }20-14\sqrt{2}\mathrm{.}$$