岡山大学 2023年度 前期文系数学 第4問

(1)
$A$ の手札の取り方は ${}_9{\mathrm{C}}_2=36$ 通りである。同じ数字を2枚持つ取り方は，数字の選び方が $3$ 通り，各数字について札の選び方が ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通りである。したがって確率は$$\frac{3\cdot {}_3{\mathrm{C}}_2}{{}_9{\mathrm{C}}_2}=\frac{1}{4}$$である。

(2)
全事象の数は$${}_9{\mathrm{C}}_2{}_7{\mathrm{C}}_3=1260$$である。余事象として，$A$ と $B$ が共通する数字を持たない場合を数える。

$A$ が同じ数字を2枚持つ場合，$A$ の取り方は $9$ 通りである。$B$ は残り2種類の数字の札 $6$ 枚から $3$ 枚を取ればよいから，この場合は$$9\cdot {}_6{\mathrm{C}}_3=180$$通りである。

$A$ が異なる数字を1枚ずつ持つ場合，$A$ の取り方は $${}_3{\mathrm{C}}_2\cdot 3^2=27$$ 通りである。$B$ は残り1種類の数字の札3枚をすべて取る必要があるので，この場合は $27$ 通りである。

よって余事象の確率は$$\frac{180+27}{1260}=\frac{23}{140}$$である。したがって求める確率は$$1-\frac{23}{140}=\frac{117}{140}$$である。

$A$ の2枚が同じか異なるかで場合分けし、その条件のもとで $B$ が共通数字を避ける確率を求める。最後に全確率の公式で余事象を合成する。

(1) $$\mathrm{Pr}(A\text{ の数字が同じ})=\frac{3\cdot {}_3{\mathrm{C}}_2}{{}_9{\mathrm{C}}_2}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$(2)
$A$ と $B$ に共通する数字がない確率を求める。

$A$ が同じ数字を2枚持つ場合、残り7枚のうち別の2種類は計6枚である。したがって$$\mathrm{Pr}(\text{共通なし}\mid A\text{ が同じ})=\frac{{}_6{\mathrm{C}}_3}{{}_7{\mathrm{C}}_3}=\frac{20}{35}\mathrm{.}$$$A$ が異なる2種類を1枚ずつ持つ場合、共通を避けるには残る1種類の札3枚をすべて $B$ が取るしかない。よって$$\mathrm{Pr}(\text{共通なし}\mid A\text{ が異なる})=\frac{1}{{}_7{\mathrm{C}}_3}=\frac{1}{35}\mathrm{.}$$全確率の公式から$$\mathrm{Pr}(\text{共通なし})=\frac{1}{4}\cdot \frac{20}{35}+\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{35}=\frac{23}{140}\mathrm{.}$$ゆえに求める確率は$$\mathrm{Pr}(\text{共通あり})=1-\frac{23}{140}=\frac{117}{140}\mathrm{.}$$