岡山大学 2023年度 前期理系数学 第1問

(1)
$n=1$ を与式に代入すると$$a_1=\frac{7}{6}(a_1-1)$$であるから，$a_1=7$ である。$n\geqq 2$ のとき，$S_n-S_{n-1}=a_n$ より$$a_n=\frac{7}{6}(a_n-1)-\frac{7}{6}(a_{n-1}-1)=\frac{7}{6}(a_n-a_{n-1})$$となる。したがって $a_n=7a_{n-1}$ である。よって$$a_n=7^n$$である。

(2)
$a_n$ が $89$ 桁である条件は$${10}^{88}\leqq 7^n<{10}^{89}$$である。常用対数をとると$$88\leqq 0.8451n<89$$である。$104\cdot 0.8451=87.8904$，$105\cdot 0.8451=88.7355$，$106\cdot 0.8451=89.5806$ より，求める値は$$n=105$$である。

(3)
$7^n$ の1の位は $7,9,3,1$ を周期 $4$ として繰り返す。$105\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ であるから，$a_{105}=7^{105}$ の1の位の数字は $7$ である。

(4) $${\log }_{10}{7}^{105}=88.7355$$ であるから，$$7^{105}={10}^{88}\cdot {10}^{0.7355}$$ である。$${\log }_{10}5=1-{\log }_{10}2=0.6990$$，$${\log }_{10}6={\log }_{10}2+{\log }_{10}3=0.7781$$ より$${\log }_{10}5<0.7355<{\log }_{10}6$$である。したがって $5<{10}^{0.7355}<6$ となり，最高位の数字は $5$ である。

$a_n$ を直接比較する代わりに、与式から $a_n=\frac{6}{7}{S}_n+1$ と表して $S_n$ の漸化式を作る。一次漸化式を等比型へ直せば一般項が得られ、後半は指数105の桁・剰余・最高位をそれぞれ独立に判定できる。

(1)
$S_1=a_1$ を与式へ代入すると$$S_1=\frac{7}{6}(S_1-1)$$より $S_1=7$ である。また与式は$$a_n=\frac{6}{7}{S}_n+1$$と書ける。$n\geqq 2$ では $S_n=S_{n-1}+a_n$ だから$$\begin{array}{cccc}& S_n=S_{n-1}+\frac{6}{7}{S}_n+1,S_n=7S_{n-1}+7.& & \text{(1)}\end{array}$$ここで $T_n=6S_n+7$ とおくと、(1)から$$T_n=6(7S_{n-1}+7)+7=7(6S_{n-1}+7)=7T_{n-1}\mathrm{.}$$$T_1=49$ より$$T_n=7^{n+1},S_n=\frac{7^{n+1}-7}{6}\mathrm{.}$$したがって$$a_n=S_n-S_{n-1}=7^n\mathrm{.}$$(2)
$7^n$ が89桁である条件は$${10}^{88}\leqq 7^n<{10}^{89},88\leqq 0.8451n<89.$$ここで$$104\cdot 0.8451=87.8904,105\cdot 0.8451=88.7355,106\cdot 0.8451=89.5806$$だから$$n=105.$$(3)$$7^2=49\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)$$である。よって$$7^{105}=7(7^2{)}^{52}\equiv 7(-1{)}^{52}\equiv 7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)\mathrm{.}$$したがって1の位は $7$ である。

(4) $${\log }_{10}{7}^{105}=\mathrm{88.7355.}$$一方、与えられた値から$${\log }_{10}5=1-{\log }_{10}2=0.6990,{\log }_{10}6={\log }_{10}2+{\log }_{10}3=\mathrm{0.7781.}$$したがって$${\log }_{10}(5\cdot {10}^{88})<{\log }_{10}{7}^{105}<{\log }_{10}(6\cdot {10}^{88})\mathrm{.}$$ゆえに$$5\cdot {10}^{88}<7^{105}<6\cdot {10}^{88}$$であり、最高位の数字は $5$ である。