岡山大学 2021年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の $x$ 座標と $y$ 座標が共に正の整数である点 $(x, y)$ 全体の集合を $D$ とする． $D$ に属する点 $(x, y)$ に対して $x + y$ が小さいものから順に，また $x + y$ が等しい点の中では $x$ が小さい順に番号をつけ， $n$ 番目 $(n = 1,$ $2,$ $3,$ $\dots)$ の点を $P_{n}$ とする．例えば， $P_{1},$ $P_{2}, P_{3}$ の座標は順に $(1, 1),$ $(1, 2),$ $(2, 1)$ である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　座標が $(2, 4)$ である点は何番目か．また， $P_{10}$ の座標を求めよ．

(2)　座標が $(n, n)$ である点の番号を $a_{n}$ とする．数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(3)　(2)で定めた数列 ${a_{n}}$ に対し， $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ を求めよ．

出典：岡山大学 2021年度前期文系第2問

方針

解法1

和 $x + y = m$ ごとに点が $m - 1$ 個並ぶことを使う。和が $m$ より小さい点の個数を先に足し，同じ和の中では $x$ がそのまま順番を与える。

解法2（格子点の番号公式を先に作る）

任意の格子点 $(x, y)$ の番号を，それ以前の斜め列の総数と列内順位の和として直接公式化する。公式を $(2, 4)$ ， $n, n)$ に代入し，最後は多項式和を計算する。

解答

解法1

(1)

$x + y = m$ である点は

(1, m - 1), (2, m - 2), \dots, (m - 1, 1)

の $m - 1$ 個である。したがって，和が $m$ より小さい点の個数は

1 + 2 + \dots + (m - 2) = \frac{( m - 2 ) ( m - 1 )}{2}

である。

点 $(2, 4)$ では $m = 6$ であり，同じ和の中で2番目であるから，番号は

\frac{4 \cdot 5}{2} + 2 = 12

である。また $P_{10}$ は $x + y = 5$ の組の最後であるから，

P_{10} = (4, 1)

である。

(2)

点 $(n, n)$ では $x + y = 2 n$ であり，同じ和の中で $n$ 番目である。よって

a_{n} = \frac{( 2 n - 2 ) ( 2 n - 1 )}{2} + n = 2 n^{2} - 2 n + 1

である。

(3)

(2)より

k = 1 \sum n a_{k} = k = 1 \sum n (2 k^{2} - 2 k + 1)

である。したがって

k = 1 \sum n a_{k} = 2 \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - 2 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + n = \frac{n ( 2 n ^{2} + 1 )}{3}

である。

解法2（格子点の番号公式を先に作る）

(1)

$s = x + y$ とおく。和が $s$ より小さい点は， $x + y = 2, 3, \dots, s - 1$ の各列に並ぶから，その総数は

1 + 2 + \dots + (s - 2) = \frac{( s - 2 ) ( s - 1 )}{2}

である。同じ列では $x$ が小さい順なので，点 $(x, y)$ の番号は

N (x, y) = \frac{( x + y - 2 ) ( x + y - 1 )}{2} + x

である。したがって

N (2, 4) = \frac{4 \cdot 5}{2} + 2 = 12

である。また第10番までの列を並べると次図のようになる。

よって

P_{10} = (4, 1)

である。

(2)

番号公式へ $(x, y) = (n, n)$ を代入すると

a_{n} = N (n, n) = \frac{( 2 n - 2 ) ( 2 n - 1 )}{2} + n = 2 n^{2} - 2 n + 1

である。

(3)

したがって

k = 1 \sum n a_{k} = 2 k = 1 \sum n k^{2} - 2 k = 1 \sum n k + k = 1 \sum n 1 = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{3} - n (n + 1) + n = \frac{n ( 2 n ^{2} + 1 )}{3}

である。

岡山大学 2021年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2（格子点の番号公式を先に作る）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（格子点の番号公式を先に作る）

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2021年度
文系数学第2問