岡山大学 2021年度 前期文系数学 第2問

(1)
$x+y=m$ である点は$$(1,m-1),(2,m-2),\dots ,(m-1,1)$$の $m-1$ 個である。したがって，和が $m$ より小さい点の個数は$$1+2+\cdots +(m-2)=\frac{(m-2)(m-1)}{2}$$である。

点 $(2,4)$ では $m=6$ であり，同じ和の中で2番目であるから，番号は$$\frac{4\cdot 5}{2}+2=12$$である。また $P_{10}$ は $x+y=5$ の組の最後であるから，$$P_{10}=(4,1)$$である。

(2)
点 $(n,n)$ では $x+y=2n$ であり，同じ和の中で $n$ 番目である。よって$$a_n=\frac{(2n-2)(2n-1)}{2}+n=2n^2-2n+1$$である。

(3)
(2)より$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^n(2k^2-2k+1)$$である。したがって$$\sum _{k=1}^n{a}_k=2\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n=\frac{n(2n^2+1)}{3}$$である。

任意の格子点 $(x,y)$ の番号を，それ以前の斜め列の総数と列内順位の和として直接公式化する。公式を $(2,4)$，$n,n)$ に代入し，最後は多項式和を計算する。

(1)
$s=x+y$ とおく。和が $s$ より小さい点は，$x+y=2,3,\dots ,s-1$ の各列に並ぶから，その総数は$$1+2+\cdots +(s-2)=\frac{(s-2)(s-1)}{2}$$である。同じ列では $x$ が小さい順なので，点 $(x,y)$ の番号は$$N(x,y)=\frac{(x+y-2)(x+y-1)}{2}+x$$である。したがって$$N(2,4)=\frac{4\cdot 5}{2}+2=12$$である。また第10番までの列を並べると次図のようになる。

よって$$P_{10}=(4,1)$$である。

(2)
番号公式へ $(x,y)=(n,n)$ を代入すると$$a_n=N(n,n)=\frac{(2n-2)(2n-1)}{2}+n=2n^2-2n+1$$である。

(3)
したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}& {\displaystyle =2\sum _{k=1}^n{k}^2-2\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}-n(n+1)+n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n(2n^2+1)}{3}}\end{array}$$である。