岡山大学 2023年度 前期理系数学 第2問

(1)
$D$ は $x=\pm p$ で $x$ 軸と交わるから，$b=-a{p}^2$ である。したがって$$D:y=a(x^2-p^2)$$と書ける。$a<0$ より，囲まれた部分の面積は$$S={\int }_{-p}^{p}a(x^2-p^2)dx=-\frac{4}{3}a{p}^3$$である。

(2)
接点の $x$ 座標が $t$ であるから，値と微分係数の一致より$$a{t}^2+b=\frac{1}{t^2+1},2at=-\frac{2t}{(t^2+1{)}^2}$$である。$t>0$ より$$a=-\frac{1}{(t^2+1{)}^2},b=\frac{2t^2+1}{(t^2+1{)}^2}$$を得る。

(3)
$p^2=-b\mathrm{/}a=2t^2+1$ であるから，(1)と(2)より$$S=\frac{4}{3}\cdot \frac{(2t^2+1{)}^{3\mathrm{/}2}}{(t^2+1{)}^2}$$である。

(4)
$u=t^2(u>0)$ とおくと，定数倍を除いて$$\frac{(2u+1{)}^{3\mathrm{/}2}}{(u+1{)}^2}$$を最大にすればよい。この対数を微分すると$$\frac{3}{2u+1}-\frac{2}{u+1}=\frac{1-u}{(2u+1)(u+1)}$$である。よって $0<u<1$ で増加，$u>1$ で減少するので，最大は $u=1$，すなわち $t=1$ のときである。このとき$$\begin{gathered} a=-\frac{1}{4}, \\ b=\frac{3}{4} \end{gathered}$$であるから，求める方程式は$$y=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{4}$$である。

接点条件と面積式までは通常通り導く。最後は微分せず、$u=t^2$ とおいた式を2乗し、等号条件が $u=1$ となる多項式不等式を因数分解して最大を確定する。

(1)
$D$ の零点が $\pm p$ なので $b=-a{p}^2$ であり、$$D:y=a(x^2-p^2)\mathrm{.}$$$a<0$ より囲まれた部分の面積は$$\begin{array}{cccc}& S={\int }_{-p}^{p}a(x^2-p^2)dx=-\frac{4}{3}a{p}^3\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(2)
$x=t$ で2曲線の値と微分係数が一致するから$$a{t}^2+b=\frac{1}{t^2+1},2at=-\frac{2t}{(t^2+1{)}^2}\mathrm{.}$$$t>0$ より$$a=-\frac{1}{(t^2+1{)}^2},b=\frac{2t^2+1}{(t^2+1{)}^2}\mathrm{.}$$(3)$$p^2=-\frac{b}{a}=2t^2+1$$である。(1)へ代入して$$\begin{array}{cccc}& S=\frac{4}{3}\frac{(2t^2+1{)}^{3\mathrm{/}2}}{(t^2+1{)}^2}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(4)
$u=t^2>0$ とおく。(2)の両辺は正なので、$S$ の最大化は$$\frac{(2u+1{)}^3}{(u+1{)}^4}$$の最大化と同値である。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 27(u+1{)}^4-16(2u+1{)}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(u-1{)}^2(27u^2+34u+11)\geqq 0.}\end{array}$$第2因子は $u>0$ で正だから、等号は $u=1$ のときに限る。よって $S$ は$$u=1,t=1$$で最大となる。このとき$$a=-\frac{1}{4},b=\frac{3}{4}$$なので、求める曲線は$$D:y=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{4}\mathrm{.}$$