岡山大学 2023年度 前期理系数学 第4問

(1)
$B$ から内角の二等分線 $l_B$ の向きを基準にとる。$l_A$ は $l_B$ と垂直であり，$l_C$ は $l_A$ に平行，$l_D$ は $l_B$ に平行である。したがって四角形 $EFGH$ は長方形であり，$$\mathrm{\angle }FEH=\frac{\pi }{2}$$である。

(2)
$l_B$ 方向の単位ベクトルを $$\vec{e}=(\cos \theta ,\sin \theta )$$，これに垂直な単位ベクトルを $$\vec{f}=(-\sin \theta ,\cos \theta )$$ とする。点の座標を $\vec{e},\vec{f}$ 方向の成分で表すと$$B=(0,0),A=(x\cos \theta ,-x\sin \theta ),C=(y\cos \theta ,y\sin \theta )$$である。この座標で$$l_B:v=0,l_A:u=x\cos \theta ,l_C:u=y\cos \theta ,$$また $D=A+C$ より$$l_D:v=(y-x)\sin \theta$$である。よって$$E=(x\cos \theta ,0),H=(x\cos \theta ,(y-x)\sin \theta )$$であるから，$$\begin{gathered} AE=x\sin \theta , \\ AH=y\sin \theta \end{gathered}$$を得る。

(3)
点 $H$ は$$H=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{y}{2x}\overrightarrow{AB}$$と表される。平行四辺形 $ABCD$ の内部または周上にあるためには，右辺の2つの係数がともに $0$ 以上 $1$ 以下であればよい。ここで $0<x<y$ であるから，$H$ が外部にある条件は$$\frac{y}{2x}>1$$すなわち$$y>2x$$である。

(4)
上の $(u,v)$ 座標で，長方形 $EFGH$ は$$x\cos \theta \leqq u\leqq y\cos \theta ,0\leqq v\leqq (y-x)\sin \theta$$で表される。一方，この範囲の $u$ に対して平行四辺形 $ABCD$ の上下の境界は$$\begin{gathered} v=u\tan \theta -2x\sin \theta , \\ v=u\tan \theta \end{gathered}$$である。$u=q\cos \theta$ とおくと，重なり部分の縦の長さは$$\sin \theta \{\min (y-x,q)-\max (0,q-2x)\}$$である。

$y\leqq 2x$ のとき，$x\leqq q\leqq y$ でこの長さは常に $(y-x)\sin \theta$ である。したがって$$S=(y-x{)}^2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}(y-x{)}^2\sin 2\theta$$である。

$y>2x$ のとき，$q=y-x$ と $q=2x$ の大小関係に応じて区間を分けて積分すると，いずれの場合も$${\int }_x^y\{\min (y-x,q)-\max (0,q-2x)\}dq=x(2y-3x)$$となる。よって$$S=x(2y-3x)\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}x(2y-3x)\sin 2\theta$$である。

以上より$$S=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}(y-x{)}^2\sin 2\theta & (x<y\leqq 2x),\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}x(2y-3x)\sin 2\theta & (y>2x)\end{array}$$である。

隣り合う内角の二等分線が直交することから $EFGH$ を長方形と捉える。$AE,AH$ は直角三角形の三角比で求め、重なり面積は長方形全体から外へ出る2つの合同な直角三角形を引く。積分は使わない。

(1)
平行四辺形の隣り合う内角の和は $\pi$ である。その半分の和は $\pi \mathrm{/}2$ だから$$l_A\perp l_B\mathrm{.}$$線分 $EF$ は $l_B$ 上、線分 $EH$ は $l_A$ 上にあるので$$\mathrm{\angle }FEH=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$また $l_A\parallel l_C,l_B\parallel l_D$ だから、$EFGH$ は長方形である。

(2)
$\mathrm{△}ABE$ は $E$ を直角とする。平行四辺形の角 $A$ は
$\pi -2\theta$ だから$$\mathrm{\angle }BAE=\frac{\pi }{2}-\theta \mathrm{.}$$斜辺 $AB=x$ より$$AE=x\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=x\sin \theta \mathrm{.}$$同様に $\mathrm{△}ADH$ は $H$ を直角とし、斜辺 $AD=BC=y$ だから$$AH=y\sin \theta \mathrm{.}$$(3)
$l_A$ と辺 $BC$ の交点を $K$ とする。
$\mathrm{△}ABK$ では$$\mathrm{\angle }BAK=\mathrm{\angle }AKB=\frac{\pi }{2}-\theta \mathrm{.}$$正弦定理より$$\frac{AK}{\sin 2\theta }=\frac{x}{\cos \theta },AK=2x\sin \theta \mathrm{.}$$一方 $AH=y\sin \theta$ である。したがって $H$ が辺 $BC$ を越えて外部にある条件は$$AH>AK⟺y>2x\mathrm{.}$$(4)
$E,F$ はそれぞれ $A,C$ から $l_B$ へ下ろした垂線の足とみなせるから$$BE=x\cos \theta ,BF=y\cos \theta \mathrm{.}$$よって長方形 $EFGH$ の2辺は$$EF=(y-x)\cos \theta ,EH=AH-AE=(y-x)\sin \theta \mathrm{.}$$したがってその面積は$$\begin{array}{cccc}& (y-x{)}^2\sin \theta \cos \theta \mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$x<y\leqq 2x$ のとき、長方形 $EFGH$ は平行四辺形 $ABCD$ の内部に収まる。よって$$S=(y-x{)}^2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}(y-x{)}^2\sin 2\theta \mathrm{.}$$$y>2x$ のときは、図のように長方形の対角にある2つの合同な直角三角形が平行四辺形の外へ出る。各三角形の直角をはさむ2辺は$$(y-2x)\cos \theta ,(y-2x)\sin \theta$$である。したがって(1)から2個分を引いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =(y-x{)}^2\sin \theta \cos \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -(y-2x{)}^2\sin \theta \cos \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x(2y-3x)\sin \theta \cos \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}x(2y-3x)\sin 2\theta \mathrm{.}}\end{array}$$以上より$$S=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}(y-x{)}^2\sin 2\theta & (x<y\leqq 2x),\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}x(2y-3x)\sin 2\theta & (y>2x)\mathrm{.}\end{array}$$