岡山大学 2023年度理系数学第4問解答・解説

問題

$0 < x < y$ とする．平行四辺形 $A B C D$ において，辺 $A B$ の長さを $x,$ 辺 $B C$ の長さを $y,$ $∠ A B C = 2 θ$ $(0 < θ < \frac{π}{2})$ とする．平行四辺形 $A B C D$ の内角 $A,$ $B,$ $C,$ $D$ を $2$ 等分する直線をそれぞれ $l_{A},$ $l_{B},$ $l_{C},$ $l_{D}$ とし， $l_{A}$ と $l_{B}$ の交点を $E$ ， $l_{B}$ と $l_{C}$ の交点を $F$ ， $l_{C}$ と $l_{D}$ の交点を $G$ ， $l_{D}$ と $l_{A}$ の交点を $H$ とする．平行四辺形 $A B C D$ と平行四辺形 $E F G H$ が重なる部分の面積を $S$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $∠ F E H$ を求めよ．

(2)　線分 $A E$ および線分 $A H$ の長さを求めよ．

(3)　点 $H$ が平行四辺形 $A B C D$ の外部にあるような， $x, y$ の条件を求めよ．

(4)　 $S$ を求めよ．

出典：岡山大学 2023年度前期理系第4問

方針

解法1

角の二等分線の方向に合わせて， $l_{B}$ 方向とそれに垂直な方向を座標軸に取る。すると四角形 $E F G H$ は長方形になり， $A E, A H$ と内外判定が座標で読める。面積はこの長方形と平行四辺形の重なりを縦切りで積分し， $y ≦ 2 x$ と $y > 2 x$ に分ける。

解法2（直角三角形と長方形の切り取りで面積を求める方法）

隣り合う内角の二等分線が直交することから $E F G H$ を長方形と捉える。 $A E, A H$ は直角三角形の三角比で求め、重なり面積は長方形全体から外へ出る2つの合同な直角三角形を引く。積分は使わない。

解答

解法1

(1)

$B$ から内角の二等分線 $l_{B}$ の向きを基準にとる。 $l_{A}$ は $l_{B}$ と垂直であり， $l_{C}$ は $l_{A}$ に平行， $l_{D}$ は $l_{B}$ に平行である。したがって四角形 $E F G H$ は長方形であり，

∠ F E H = \frac{π}{2}

である。

(2)

$l_{B}$ 方向の単位ベクトルを $e = (cos θ, sin θ)$ ，これに垂直な単位ベクトルを $f = (- sin θ, cos θ)$ とする。点の座標を $e, f$ 方向の成分で表すと

B = (0, 0), A = (x cos θ, - x sin θ), C = (y cos θ, y sin θ)

である。この座標で

l_{B} : v = 0, l_{A} : u = x cos θ, l_{C} : u = y cos θ,

また $D = A + C$ より

l_{D} : v = (y - x) sin θ

である。よって

E = (x cos θ, 0), H = (x cos θ, (y - x) sin θ)

であるから，

A E = x sin θ, A H = y sin θ

を得る。

(3)

点 $H$ は

H = A + \frac{1}{2} A D + \frac{y}{2 x} A B

と表される。平行四辺形 $A B C D$ の内部または周上にあるためには，右辺の2つの係数がともに $0$ 以上 $1$ 以下であればよい。ここで $0 < x < y$ であるから， $H$ が外部にある条件は

\frac{y}{2 x} > 1

すなわち

y > 2 x

である。

(4)

上の $(u, v)$ 座標で，長方形 $E F G H$ は

x cos θ ≦ u ≦ y cos θ, 0 ≦ v ≦ (y - x) sin θ

で表される。一方，この範囲の $u$ に対して平行四辺形 $A B C D$ の上下の境界は

v = u tan θ - 2 x sin θ, v = u tan θ

である。 $u = q cos θ$ とおくと，重なり部分の縦の長さは

sin θ {min (y - x, q) - max (0, q - 2 x)}

である。

$y ≦ 2 x$ のとき， $x ≦ q ≦ y$ でこの長さは常に $(y - x) sin θ$ である。したがって

S = (y - x)^{2} sin θ cos θ = \frac{1}{2} (y - x)^{2} sin 2 θ

である。

$y > 2 x$ のとき， $q = y - x$ と $q = 2 x$ の大小関係に応じて区間を分けて積分すると，いずれの場合も

\int_{x}^{y} {min (y - x, q) - max (0, q - 2 x)} d q = x (2 y - 3 x)

となる。よって

S = x (2 y - 3 x) sin θ cos θ = \frac{1}{2} x (2 y - 3 x) sin 2 θ

である。

以上より

S = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} (y - x)^{2} sin 2 θ \frac{1}{2} x (2 y - 3 x) sin 2 θ (x < y ≦ 2 x), (y > 2 x)

である。

解法2（直角三角形と長方形の切り取りで面積を求める方法）

(1)

平行四辺形の隣り合う内角の和は $π$ である。その半分の和は $π /2$ だから

l_{A} ⊥ l_{B} .

線分 $E F$ は $l_{B}$ 上、線分 $E H$ は $l_{A}$ 上にあるので

∠ F E H = \frac{π}{2} .

また $l_{A} ∥ l_{C}, l_{B} ∥ l_{D}$ だから、 $E F G H$ は長方形である。

(2)

$△ A B E$ は $E$ を直角とする。平行四辺形の角 $A$ は $π - 2 θ$ だから

∠ B A E = \frac{π}{2} - θ .

斜辺 $A B = x$ より

A E = x cos (\frac{π}{2} - θ) = x sin θ .

同様に $△ A D H$ は $H$ を直角とし、斜辺 $A D = B C = y$ だから

A H = y sin θ .

(3)

$l_{A}$ と辺 $B C$ の交点を $K$ とする。 $△ A B K$ では

∠ B A K = ∠ A K B = \frac{π}{2} - θ .

正弦定理より

\frac{A K}{sin 2 θ} = \frac{x}{cos θ}, A K = 2 x sin θ .

一方 $A H = y sin θ$ である。したがって $H$ が辺 $B C$ を越えて外部にある条件は

A H > A K ⟺ y > 2 x .

(4)

$E, F$ はそれぞれ $A, C$ から $l_{B}$ へ下ろした垂線の足とみなせるから

B E = x cos θ, B F = y cos θ .

よって長方形 $E F G H$ の2辺は

E F = (y - x) cos θ, E H = A H - A E = (y - x) sin θ .

したがってその面積は

(y - x)^{2} sin θ cos θ . (1)

$x < y ≦ 2 x$ のとき、長方形 $E F G H$ は平行四辺形 $A B C D$ の内部に収まる。よって

S = (y - x)^{2} sin θ cos θ = \frac{1}{2} (y - x)^{2} sin 2 θ .

$y > 2 x$ のときは、図のように長方形の対角にある2つの合同な直角三角形が平行四辺形の外へ出る。

各三角形の直角をはさむ2辺は

(y - 2 x) cos θ, (y - 2 x) sin θ

である。したがって(1)から2個分を引いて

S = (y - x)^{2} sin θ cos θ - (y - 2 x)^{2} sin θ cos θ = x (2 y - 3 x) sin θ cos θ = \frac{1}{2} x (2 y - 3 x) sin 2 θ .

以上より

S = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} (y - x)^{2} sin 2 θ \frac{1}{2} x (2 y - 3 x) sin 2 θ (x < y ≦ 2 x), (y > 2 x) .

岡山大学 2023年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2（直角三角形と長方形の切り取りで面積を求める方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（直角三角形と長方形の切り取りで面積を求める方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

岡山大学 2023年度
理系数学第4問