岡山大学 2023年度 前期理系数学 第3問

(1)
$A$ の手札の取り方は ${}_9{\mathrm{C}}_2=36$ 通りである。同じ数字の札を2枚取るには，数字を $3$ 通りに選び，その数字の札 $3$ 枚から $2$ 枚を選べばよい。したがって確率は$$\frac{3\cdot {}_3{\mathrm{C}}_2}{{}_9{\mathrm{C}}_2}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$$である。

(2)
全事象の数は$${}_9{\mathrm{C}}_2{}_7{\mathrm{C}}_2{}_5{\mathrm{C}}_3=7560$$である。$A$ が異なる数字を持つ取り方は $${}_3{\mathrm{C}}_2\cdot 3^2=27$$ 通りである。対称性により，$A$ が数字 $1,2$ を1枚ずつ持つとして数えると，残りの枚数は $(2,2,3)$ である。

このとき $B$ が $(1,2)$ を取る場合は $4$ 通りで，その後 $C$ が3種類を1枚ずつ取る方法は $3$ 通りである。$B$ が $(1,3)$ または $(2,3)$ を取る場合はそれぞれ $6$ 通りで，その後の $C$ の取り方はそれぞれ $4$ 通りである。よって，$A$ の各取り方に対して$$4\cdot 3+6\cdot 4+6\cdot 4=60$$通りである。したがって求める確率は$$\frac{27\cdot 60}{7560}=\frac{3}{14}$$である。

(3)
余事象として，$A$ と $C$ が共通する数字を持たない場合を数える。

$A$ が同じ数字を2枚持つ場合，$A$ の取り方は $9$ 通りである。残りのうち，$B$ が $A$ と同じ数字を1枚，別の数字を1枚取る場合は $6$ 通りで，その後の $C$ の取り方は ${}_5{\mathrm{C}}_3=10$ 通りである。また，$B$ が別の数字だけから2枚取る場合は ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りで，その後の $C$ の取り方は ${}_4{\mathrm{C}}_3=4$ 通りである。よってこの場合は $$9(6\cdot 10+15\cdot 4)=1080$$ 通りである。

$A$ が異なる数字を1枚ずつ持つ場合，$A$ の取り方は $27$ 通りである。$C$ が $A$ と共通する数字を持たないためには，残りの1種類の札3枚をすべて $C$ が取る必要がある。その前に $B$ は $A$ が持つ2種類の残り4枚から2枚を取るので，${}_4{\mathrm{C}}_2=6$ 通りである。よってこの場合は $27\cdot 6=162$ 通りである。

余事象の確率は$$\frac{1080+162}{7560}=\frac{23}{140}$$である。したがって求める確率は$$1-\frac{23}{140}=\frac{117}{140}$$である。

札を誰が先に受け取るかを入れ替えても、各人へ無作為に配られる分布は変わらない。(2)は $C\to A\to B$ の順、(3)は $A\to C$ の順で考え、残った各数字の枚数から条件付き確率を掛ける。

(1)
$A$ の2枚の選び方は ${}_9{\mathrm{C}}_2$ 通りである。同じ数字を持つ選び方は$$3\cdot {}_3{\mathrm{C}}_2$$通りだから$$\mathrm{Pr}(A\text{ の数字が同じ})=\frac{3\cdot {}_3{\mathrm{C}}_2}{{}_9{\mathrm{C}}_2}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$(2)
$C,A,B$ の順に取り出すと考える。まず $C$ が3種類を1枚ずつ取る確率は$$\frac{3^3}{{}_9{\mathrm{C}}_3}=\frac{9}{28}\mathrm{.}$$このとき残りは各数字2枚ずつである。$A$ の2枚が異なる確率は$$1-\frac{3\cdot {}_2{\mathrm{C}}_2}{{}_6{\mathrm{C}}_2}=\frac{4}{5}\mathrm{.}$$$A$ が異なる2種類を取った後、残り4枚の数字別枚数は
$(1,1,2)$ の並べ替えである。したがって $B$ の2枚が異なる確率は$$1-\frac{{}_2{\mathrm{C}}_2}{{}_4{\mathrm{C}}_2}=\frac{5}{6}\mathrm{.}$$以上を掛けて$$\mathrm{Pr}(A,B\text{ が各々異なり、}C\text{ が3種類})=\frac{9}{28}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{5}{6}=\frac{3}{14}\mathrm{.}$$(3)
$A$ の次に $C$ が3枚取ると考え、共通する数字がない余事象を求める。

$A$ の数字が同じ確率は $1\mathrm{/}4$ である。このとき $C$ は残り7枚のうち、別の2種類の札6枚から3枚を選ぶ必要があるので$$\mathrm{Pr}(\text{共通なし}\mid A\text{ が同じ})=\frac{{}_6{\mathrm{C}}_3}{{}_7{\mathrm{C}}_3}=\frac{20}{35}\mathrm{.}$$$A$ の数字が異なる確率は $3\mathrm{/}4$ である。このとき共通を避けるには、残る1種類の札3枚をすべて取るしかないから$$\mathrm{Pr}(\text{共通なし}\mid A\text{ が異なる})=\frac{1}{{}_7{\mathrm{C}}_3}=\frac{1}{35}\mathrm{.}$$よって$$\mathrm{Pr}(\text{共通なし})=\frac{1}{4}\cdot \frac{20}{35}+\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{35}=\frac{23}{140}\mathrm{.}$$したがって求める確率は$$1-\frac{23}{140}=\frac{117}{140}\mathrm{.}$$