岡山大学 2025年度 前期文系数学 第3問

(1)
$u=2^x$ とおくと $u>0$ であり，$$t=u+\frac{1}{u}$$である。相加相乗平均より$$u+\frac{1}{u}\geqq 2$$で，等号は $u=1$，すなわち $x=0$ のときに成り立つ。したがって $t$ の最小値は $2$，そのとき $x=0$ である。

(2)
$t=2^x+2^{-x}$ とすると$${16}^x+{16}^{-x}=(2^x{)}^4+(2^{-x}{)}^4=t^4-4t^2+2$$である。また$$(2^{x+1}+2^{-x+1}{)}^2=(2t{)}^2=4t^2,2^{x-1}+2^{-x-1}=\frac{t}{2}$$である。よって$$y=t^4-4t^2+2+4t^2-125\cdot \frac{t}{2}=t^4-\frac{125}{2}t+2$$である。

(3)
(1)より $t\geqq 2$ である。$$g(t)=t^4-\frac{125}{2}t+2$$ とおくと$$g^{\mathrm{\prime }}(t)=4t^3-\frac{125}{2}$$である。$g^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ より $8t^3=125$，すなわち $t=\frac{5}{2}$ である。$g^{\mathrm{\prime }}(t)$ は $t<\frac{5}{2}$ で負，$t>\frac{5}{2}$ で正だから，$t=\frac{5}{2}$ で最小となる。

したがって$$2^x+2^{-x}=\frac{5}{2}$$を解けばよい。$u=2^x$ とおくと$$u+\frac{1}{u}=\frac{5}{2},2u^2-5u+2=0$$であるから，$u=2,\frac{1}{2}$ である。よって求める $x$ は$$x=1,-1$$である。