岡山大学 2025年度 前期文系数学 第4問

断面 $T_k$ は，辺 $OA,AB,AC$ と平面 $x=k$ との3交点を頂点にもつ。

(1)
四面体 $OABC$ は$$x\geqq 0,y\geqq 0,z\geqq 0,\frac{x}{n}+\frac{y}{n}+\frac{z}{2n}\leqq 1$$で表される。平面 $x=k$ 上では$$y\geqq 0,z\geqq 0,2y+z\leqq 2(n-k)$$である。したがって断面 $T_k$ の頂点は$$(k,0,0),(k,n-k,0),(k,0,2(n-k))$$である。

(2)
$m=n-k$ とおく。断面の内部にある整数点は$$y>0,z>0,2y+z<2m$$を満たす整数 $y,z$ に対応する。$y=1,2,\dots ,m-1$ に対して，$z$ は$$1\leqq z\leqq 2m-2y-1$$の $2m-2y-1$ 個である。よって個数は$$\sum _{y=1}^{m-1}(2m-2y-1)=(m-1{)}^2$$である。したがって求める個数は$$(n-k-1{)}^2$$である。

(3)
内部の整数点では $x=k$ とおくと $k=1,2,\dots ,n-1$ である。(2)より，$x=k$ 上の個数は $(n-k-1{)}^2$ であるから，全体の個数は$$\sum _{k=1}^{n-1}(n-k-1{)}^2=\sum _{j=0}^{n-2}{j}^2=\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}$$である。