大阪大学 1988年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

解と係数の関係より $\alpha +\beta =p$、$\alpha \beta =-q$ である。また各根 $u=\alpha ,\beta$ は $u^2=pu+q$ を満たす。

(1) $n\ge 2$ のとき、上の式に $u^{n-2}$ を掛けて $u^n=p{u}^{n-1}+q{u}^{n-2}$ を得る。$u=\alpha ,\beta$ について加えると$$A_n=p{A}_{n-1}+q{A}_{n-2}$$である。初期値は $A_0=2$、$A_1=\alpha +\beta =p$ で、どちらも整数である。したがってこの漸化式により、数学的帰納法で全ての $n\ge 0$ に対して $A_n$ は整数である。

(2) 恒等式 $u^3+v^3=(u+v{)}^3-3uv(u+v)$ に $u={\alpha }^n,v={\beta }^n$ を代入すると$$A_{3n}=A_n^3-3(\alpha \beta {)}^n{A}_n=A_n^3-3(-q{)}^n{A}_n\mathrm{.}$$よって$$A_{3n}-A_n^3=-3(-q{)}^n{A}_n\mathrm{.}$$(1)より $A_n$ は整数であり、$q$ も整数だから、右辺は3の倍数である。したがって $A_{3n}-{A_n}^3$ は3で割り切れる。

$A_n$ を $p,q$ の整数係数多項式として明示する。整数性を直接読み取り、立方展開で合同条件を示す。

(1)
解と係数の関係から $$\alpha +\beta =p,\alpha \beta =-q$$ である。
二変数の整式 $P_n(X,Y)$ を$$P_0=2,P_1=X,P_n=X{P}_{n-1}-Y{P}_{n-2}$$で定める。これは整数係数の整式である。また$${\alpha }^n+{\beta }^n=(\alpha +\beta )({\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1})-\alpha \beta ({\alpha }^{n-2}+{\beta }^{n-2})$$だから、帰納法により$$A_n=P_n(\alpha +\beta ,\alpha \beta )=P_n(p,-q)\mathrm{.}$$$p,-q$ は整数で $P_n$ は整数係数だから、$A_n$ は整数である。

(2)
さらに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_n^3-A_{3n}}& {\displaystyle =({\alpha }^n+{\beta }^n{)}^3-({\alpha }^{3n}+{\beta }^{3n})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3(\alpha \beta {)}^n({\alpha }^n+{\beta }^n)=3(-q{)}^n{A}_n\mathrm{.}}\end{array}$$右辺は3の倍数だから $A_{3n}-A_n^3$ は3で割り切れる。