大阪大学 2018年度文理共通数学文系第3問・理系第4問解答・解説

問題

座標空間に6点

A (0, 0, 1), B (1, 0, 0), C (0, 1, 0), D (- 1, 0, 0), E (0, - 1, 0), F (0, 0, - 1)

を頂点とする正八面体 $A B C D E F$ がある。 $0 < s < 1$ 、 $0 < t < 1$ とする。線分 $A B, A C$ をそれぞれ $1 - s : s$ に内分する点を $P, Q$ 、線分 $F D, F E$ をそれぞれ $1 - t : t$ に内分する点を $R, S$ とする。

(1) 4点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にあることを示せ。

(2) 線分 $P Q$ の中点を $L$ 、線分 $R S$ の中点を $M$ とする。 $s, t$ が与えられた範囲を動くとき、線分 $L M$ の長さの最小値 $m$ を求めよ。

(3) 4点 $P, Q, R, S$ を通る平面による正八面体の切り口の面積を $X$ とする。 $L M = m$ のとき、 $X$ を最大にする $s, t$ と、そのときの $X$ を求めよ。

出典：大阪大学 2018年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第3問・理系第4問

方針

解法1

内分点の座標を求め、 $P Q ∥ R S$ から同一平面性を示す。 $L M^{2}$ は $s + t$ だけの二次式になる。最小条件 $s + t = 2/3$ の下で切断面を $x + y - 2 z = k$ と表し、正八面体の各辺との交点を求めて射影面積を計算する。

解法2

(1) では4点が満たす平面方程式を直接作る。(2) は $u = s + t$ で平方完成する。(3) は

u = x + y, v = x - y

へ座標変換し、断面を $uv$ 平面上の縦切り積分で求める。頂点を6個列挙せずに面積式へ到達できる。

解答

解法1

(1)

内分公式より

P R = (1 - s, 0, s), = (t - 1, 0, - t), Q S = (0, 1 - s, s), = (0, t - 1, - t)

である。したがって

P Q = (- (1 - s), 1 - s, 0), R S = (1 - t, - (1 - t), 0)

であり、

R S = - \frac{1 - t}{1 - s} P Q

となる。よって $P Q ∥ R S$ であり、この2直線を含む平面上に $P, Q, R, S$ がある。

(2)

中点の座標は

L = (\frac{1 - s}{2}, \frac{1 - s}{2}, s), M = (\frac{t - 1}{2}, \frac{t - 1}{2}, - t)

である。 $u = s + t$ と置くと

L M^{2} = \frac{( u - 2 ) ^{2}}{2} + u^{2} = \frac{3}{2} (u - \frac{2}{3})^{2} + \frac{4}{3}

となる。 $0 < u < 2$ だから $u = 2/3$ で最小となり、

m = \frac{2}{3}, s + t = \frac{2}{3}

を得る。

(3)

$s + t = 2/3$ の下で、4点を通る平面は

x + y - 2 z = k, k = 1 - 3 s = \frac{3}{2} (t - s)

と表せる。 $0 < s, t < 1$ から $- 1 < k < 1$ である。正八面体は

∣ x ∣ + ∣ y ∣ + ∣ z ∣ ≦ 1

で表される。

まず $0 ≦ k < 1$ とする。切断面の頂点を順に並べると

V_{1} V_{3} V_{5} = (- \frac{1 - k}{2}, \frac{1 + k}{2}, 0), = (\frac{k + 2}{3}, 0, \frac{1 - k}{3}), = (0, - \frac{2 - k}{3}, - \frac{1 + k}{3}), V_{2} V_{4} V_{6} = (0, \frac{k + 2}{3}, \frac{1 - k}{3}), = (\frac{1 + k}{2}, - \frac{1 - k}{2}, 0), = (- \frac{2 - k}{3}, 0, - \frac{1 + k}{3})

である。これを $x y$ 平面へ射影し、靴紐公式を使うと射影面積は

A_{x y} = \frac{2 ( 5 - k ^{2} )}{9}

となる。平面の法線ベクトルは $(1, 1, - 2)$ なので、面積比から

X = \frac{6}{2} A_{x y} = \frac{6}{9} (5 - k^{2})

を得る。 $k < 0$ の場合も原点対称性により同じ式が成り立つ。

よって $X$ は $k = 0$ のとき最大である。これは $s = t$ を意味し、 $s + t = 2/3$ と合わせて

s = t = \frac{1}{3}, X_{m a x} = \frac{5 6}{9}

となる。

解法2

(1)

4点の座標は解法1と同じである。平面

(s + t) (x + y) + (s + t - 2) z = t - s

を考える。 $P, Q$ では左辺が $t - s$ となり、 $R, S$ でも同じ値になる。したがって4点はこの一つの平面上にある。

(2)

$u = s + t$ と置くと

L M^{2} = \frac{3}{2} u^{2} - 2 u + 2 = \frac{3}{2} (u - \frac{2}{3})^{2} + \frac{4}{3}

である。よって

m = \frac{2}{3}

であり、等号条件は $s + t = 2/3$ である。

(3)

等号条件の下で平面を

x + y - 2 z = k, k = 1 - 3 s = \frac{3}{2} (t - s)

と書く。原点対称性から $0 ≦ k < 1$ の場合を調べればよい。ここで

u = x + y, v = x - y, z = \frac{u - k}{2}

と置く。恒等式

∣ x ∣ + ∣ y ∣ = max {∣ u ∣, ∣ v ∣}

により、正八面体との共通部分は

max {∣ u ∣, ∣ v ∣} + \frac{∣ u - k ∣}{2} ≦ 1

となる。固定した $u$ に対して

∣ v ∣ ≦ 1 - \frac{∣ u - k ∣}{2}

であり、この右辺が $∣ u ∣$ 以上になる $u$ の範囲は

\frac{k - 2}{3} ≦ u ≦ \frac{k + 2}{3}

である。したがって $uv$ 平面上の面積は

A_{uv} = \int_{(k - 2) /3}^{(k + 2) /3} (2 - ∣ u - k ∣) d u = \frac{4 ( 5 - k ^{2} )}{9}

となる。

切断面の位置ベクトルを

r (u, v) = (\frac{u + v}{2}, \frac{u - v}{2}, \frac{u - k}{2})

とすると

\frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v} = \frac{6}{4}

だから、

X = \frac{6}{4} A_{uv} = \frac{6}{9} (5 - k^{2})

である。最大値は $k = 0$ で得られるため、

s = t = \frac{1}{3}, X_{m a x} = \frac{5 6}{9}

となる。

大阪大学 2018年度文理共通数学 文系第3問・理系第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2018年度
文理共通数学文系第3問・理系第4問