大阪大学 2019年度文理共通数学文系第3問・理系第5問解答・解説

問題

座標空間内の2つの球面

S_{1} : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 7

と

S_{2} : (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 1

を考える． $S_{1}$ と $S_{2}$ の共通部分を $C$ とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1) $S_{1}$ との共通部分が $C$ となるような球面のうち，半径が最小となる球面の方程式を求めよ．

(2) $S_{1}$ との共通部分が $C$ となるような球面のうち，半径が $3$ となる球面の方程式を求めよ．

出典：大阪大学 2019年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第3問・理系第5問

方針

解法1

2球面の差から共通円を含む平面を求める。中心線と平面の交点が共通円の中心であり、円の半径も直角三角形から出る。同じ円を通る球の中心は円の軸上にあるので、最小半径と指定半径を幾何的に求める。

解法2

球面を左辺が0の形で $F_{1} = 0, F_{2} = 0$ と書く。同じ共通円をもつ球面は $F_{1} + t (F_{2} - F_{1}) = 0$ と表せるので、中心と半径を $t$ の2次式として求め、平方完成する。

解答

解法1

球面の中心を

O_{1} = (1, 1, 1), O_{2} = (2, 3, 3)

とする。2つの方程式の差から、共通円 $C$ を含む平面は

2 x + 4 y + 4 z = 25

である。法線 $(1, 2, 2)$ は $O_{1} O_{2}$ と平行なので、この平面は中心線に垂直である。

$O_{1}$ から平面までの距離は

\frac{∣2 + 4 + 4 - 25∣}{2 ^{2} + 4 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{5}{2}

である。よって共通円の半径 $ρ$ は

ρ^{2} = 7 - (\frac{5}{2})^{2} = \frac{3}{4}

となる。円の中心 $H$ は

H = O_{1} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3} (1, 2, 2) = (\frac{11}{6}, \frac{8}{3}, \frac{8}{3})

である。

(1)

円 $C$ を通る球の中心は、 $H$ を通り円の平面に垂直な直線上にある。半径が最小なのは中心が $H$ のときで、半径の2乗は $3/4$ である。よって

(x - \frac{11}{6})^{2} + (y - \frac{8}{3})^{2} + (z - \frac{8}{3})^{2} = \frac{3}{4}

である。

(2)

半径が $3$ なら、球の中心と $H$ の距離は

3 - ρ^{2} = 3 - \frac{3}{4} = \frac{3}{2}

である。軸方向の単位ベクトルは $(1, 2, 2) /3$ だから、中心は

H \pm \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} (1, 2, 2)

すなわち

(\frac{7}{3}, \frac{11}{3}, \frac{11}{3}), (\frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3})

である。よって求める2球面は

(x - \frac{7}{3})^{2} + (y - \frac{11}{3})^{2} + (z - \frac{11}{3})^{2} = 3

および

(x - \frac{4}{3})^{2} + (y - \frac{5}{3})^{2} + (z - \frac{5}{3})^{2} = 3

である。

解法2

球面 $S_{1}, S_{2}$ の左辺を0に移して、それぞれ $F_{1}, F_{2}$ とする。差は

F_{2} - F_{1} = - 2 x - 4 y - 4 z + 25

であり、これは共通円 $C$ を含む平面を表す。したがって、同じ共通円をもつ球面族は

F_{t} = F_{1} + t (F_{2} - F_{1}) = 0

と表せる。係数を比べて平方完成すると、その中心 $K (t)$ と半径 $R (t)$ は

K (t) = (1 + t, 1 + 2 t, 1 + 2 t), R^{2} (t) = 9 t^{2} - 15 t + 7 = 9 (t - \frac{5}{6})^{2} + \frac{3}{4}

となる。

(1)

半径は $t = 5/6$ のとき最小である。このとき

K (\frac{5}{6}) = (\frac{11}{6}, \frac{8}{3}, \frac{8}{3}), R^{2} (\frac{5}{6}) = \frac{3}{4}

だから、求める球面は

(x - \frac{11}{6})^{2} + (y - \frac{8}{3})^{2} + (z - \frac{8}{3})^{2} = \frac{3}{4}

である。

(2)

$R^{2} (t) = 3$ を解くと

9 t^{2} - 15 t + 4 = 0, t = \frac{1}{3}, t = \frac{4}{3}

である。対応する中心は

K (\frac{1}{3}) = (\frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}), K (\frac{4}{3}) = (\frac{7}{3}, \frac{11}{3}, \frac{11}{3})

となるので、求める方程式は解法1の2式である。

大阪大学 2019年度文理共通数学 文系第3問・理系第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

大阪大学 2019年度
文理共通数学文系第3問・理系第5問