大阪大学 2021年度文理共通数学文系第2問・理系第2問解答・解説

問題

空間内に，同一平面上にない4点 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ がある． $s, t$ を $0 < s < 1$ ， $0 < t < 1$ をみたす実数とする．線分 $O A$ を $1 : 1$ に内分する点を $A_{0}$ ，線分 $O B$ を $1 : 2$ に内分する点を $B_{0}$ ，線分 $A C$ を $s : (1 - s)$ に内分する点を $P$ ，線分 $B C$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $Q$ とする．さらに4点 $A_{0}$ ， $B_{0}$ ， $P$ ， $Q$ が同一平面上にあるとする．

(1) $t$ を $s$ を用いて表せ．

(2) $∣ O A ∣ = 1$ ， $∣ O B ∣ = ∣ O C ∣ = 2$ ， $∠ A O B = 120^{\circ}$ ， $∠ B O C = 90^{\circ}$ ， $∠ C O A = 60^{\circ}$ ， $∠ P O Q = 90^{\circ}$ であるとき， $s$ の値を求めよ．

出典：大阪大学 2021年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第2問・理系第2問

方針

解法1（独立な3ベクトルで係数比較する）

$O A, O B, O C$ を独立な基底として4点の位置ベクトルを表す。同一平面条件を2方向の一次結合で書いて係数比較し， $t$ と $s$ の関係を得る。(2)は角度条件を内積へ変換して $O P \cdot O Q = 0$ に代入する。

解法2（基底座標で平面方程式を立てる）

$O A, O B, O C$ を座標軸とみなし， $A_{0}, B_{0}, P$ を通る平面の方程式を $2 x + 3 y + λ z = 1$ と置く。点 $P, Q$ の代入だけで $t$ を求め，後半は内積条件を一度に整理する。

解答

解法1（独立な3ベクトルで係数比較する）

(1)

$a = O A, b = O B, c = O C$ とおく。3ベクトルは一次独立であり，

A_{0} = \frac{1}{2} a, B_{0} = \frac{1}{3} b, P = (1 - s) a + s c, Q = (1 - t) b + t c

と表せる。

4点の共面条件から， $x + y + z = 1$ を満たす実数 $x, y, z$ があって

Q = x A_{0} + y B_{0} + z P

と書ける。 $a, b, c$ の係数を比較すると

0 = \frac{x}{2} + (1 - s) z, 1 - t = \frac{y}{3}, t = sz

である。これらと $x + y + z = 1$ を用いて整理すると

t = \frac{2 s}{s + 1}

を得る。

(2)

条件から

a \cdot b = - 1, b \cdot c = 0, c \cdot a = 1, ∣ c ∣^{2} = 4

である。 $O P ⊥ O Q$ より

0 = {(1 - s) a + s c} \cdot {(1 - t) b + t c} = - (1 - s) (1 - t) + (1 - s) t + 4 s t

となる。 $t = 2 s / (s + 1)$ を代入すると

0 = 5 s - 1

だから

s = \frac{1}{5}, t = \frac{1}{3}

である。両値は指定範囲内にある。

解法2（基底座標で平面方程式を立てる）

(1)

$O A, O B, O C$ を基底とする座標では

A_{0} = (\frac{1}{2}, 0, 0), B_{0} = (0, \frac{1}{3}, 0), P = (1 - s, 0, s), Q = (0, 1 - t, t)

である。 $A_{0}, B_{0}, P$ を通る平面を

2 x + 3 y + λ z = 1

とおく。 $P$ の代入から $λ = (2 s - 1) / s$ ，さらに $Q$ の代入から

3 (1 - t) + \frac{2 s - 1}{s} t = 1

を得る。よって

t = \frac{2 s}{s + 1}

である。

(2)

$a = O A, b = O B, c = O C$ とおくと

a \cdot b = - 1, b \cdot c = 0, c \cdot a = 1, ∣ c ∣^{2} = 4

である。したがって

0 = O P \cdot O Q = - (1 - s) (1 - t) + (1 - s) t + 4 s t

となる。 $t = 2 s / (s + 1)$ を代入すれば $5 s - 1 = 0$ だから

s = \frac{1}{5}, t = \frac{1}{3}

である。

大阪大学 2021年度文理共通数学 文系第2問・理系第2問

問題

方針

解法1（独立な3ベクトルで係数比較する）

解法2（基底座標で平面方程式を立てる）

解答

解法1（独立な3ベクトルで係数比較する）

(1)

(2)

解法2（基底座標で平面方程式を立てる）

(1)

(2)

大阪大学 2021年度
文理共通数学文系第2問・理系第2問