問題
平面上の3点，，が
をみたすとする．
(1) を求めよ．
(2) 平面上の点が
をみたすように動くとき，の最大値と最小値を求めよ．
方針
解法1（標準解法）
、 とおくと、 である。条件から と が単位直交ベクトルになることをまず示す。(2) では と座標化し、中心 、半径 の円板を半平面 で切った領域で、原点からの距離の最大・最小を調べる。
解法2（距離の不等式で直接評価する方法）
， が単位直交ベクトルであることを使い， とおく。最小値は三角不等式で評価し，最大値は円板条件を展開して と合わせることで，境界を媒介変数表示せず直接上から押さえる。
解答
解法1（標準解法）
(1)
とおく。条件より である。また だから である。与えられた内積条件は と書ける。両辺を3倍して である。 より を得る。したがって
である。
(2)
(1) より は互いに垂直な単位ベクトルである。平面上の任意の点 について と表すと、 である。
さらに なので、1つ目の条件は となる。2つ目の条件は
である。したがって の動く範囲は、中心 、半径 の円板のうち、直線 の左側である。
最小値を考える。原点 から中心 までの距離は
であり、これは半径 より大きい。したがって円板全体での最短距離は である。この最短点は中心から原点方向に半径だけ進んだ点で、座標は であるから、確かに をみたす。よってこの値が条件下での最小値である。
次に最大値を考える。領域の境界は、円周の左半分と線分 からなる。線分上では だから、 の最大は のときで、値は である。
円周の左半分では
とおける。このとき である。 のもとでは、 なら 、 なら である。したがって であり、等号は のとき成り立つ。よって円周上でも最大の は である。
以上から
である。
解法2（距離の不等式で直接評価する方法）
(1)
とおく。 であり， だから，与えられた内積条件は
となる。よって であり， を得る。したがって求める内積は である。
(2)
とおくと，条件は
となる。領域は次図の青い半円板である。
中心を表すベクトルを とすれば である。円板条件と三角不等式から
等号を与える点は
で， を満たす。したがって最小値は である。
次に円板条件を展開すると
また円板全体で であり，半平面条件から だから である。(1) より
等号は で成り立つ。よって最大値は である。