上智大学 2018年度 一般選抜理工学部数学 第2問

(1) $n$日目にA定食が提供される確率を$p_n$とする。すると$$p_{n+1}=\frac{1}{2}{p}_n+(1-p_n)=1-\frac{1}{2}{p}_n$$である。初期条件は$p_1=1$だから$$p_2=\frac{1}{2},p_3=1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$$より，求める確率は
$\frac{3}{4}$
である。

(2) 漸化式
$p_{n+1}=1-\frac{1}{2}{p}_n$
の不動点は$p=\frac{2}{3}$である。そこで
$q_n=p_n-\frac{2}{3}$
とおくと$$q_{n+1}=p_{n+1}-\frac{2}{3}=1-\frac{1}{2}{p}_n-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}(p_n-\frac{2}{3})=-\frac{1}{2}{q}_n$$となる。したがって$$q_n={(-\frac{1}{2})}^{n-1}{q}_1$$であり，$q_1=\frac{1}{3}$だから$$p_n=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^{n-1}$$である。

(3) 3日目にA定食が提供されていたとき，そこから3回遷移して6日目にA定食となる確率を求めればよい。よって$$P(\text{3日目Aかつ6日目A})=P(\text{3日目A})P(\text{6日目A}\mid \text{3日目A})$$である。ここで$$P(\text{3日目A})=\frac{3}{4},P(\text{6日目A}\mid \text{3日目A})=\frac{5}{8}$$だから$$P(\text{3日目Aかつ6日目A})=\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{8}=\frac{15}{32}$$である。また$$P(\text{6日目A})=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^5=\frac{21}{32}$$より，求める条件付き確率は$$\frac{15\mathrm{/}32}{21\mathrm{/}32}=\frac{5}{7}$$である。

(4) 1日目から$n$日目までの並びのうち，$n$日目がAであるものの個数を$a_n$，Bであるものの個数を$b_n$とする。すると$$a_{n+1}=a_n+b_n,b_{n+1}=a_n$$である。よって
$a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$
を得る。

初期値は
$a_1=1,a_2=1$
であるから$$a_3=2,a_4=3,a_5=5$$となり，
$a_5=5$
である。

また，1日目から10日目までの可能な組合せの総数は，同じ漸化式で順に
$1,2,3,5,8,13,21,34,55,89$
となるので
$89$
である。