上智大学 2018年度 一般選抜理工学部数学 第1問

(1) 点$P(x,y)$とする。$\theta =\mathrm{\angle }POA$とおくと，$y>0$より$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$であり，$$\tan \theta =\frac{y}{x}$$である。また，$\mathrm{\angle }PAO=2\theta$より$$\tan 2\theta =\frac{y}{1-x}$$だから$$\frac{y}{1-x}=\frac{2(y\mathrm{/}x)}{1-(y\mathrm{/}x{)}^2}=\frac{2xy}{x^2-y^2}$$となる。よって
$x^2-y^2=2x(1-x)$
すなわち
$3x^2-2x-y^2=0$
である。したがって$$y^2=3x^2-2x,y>0,x\ge \frac{2}{3}$$が軌跡である。

(2) 直線$x=k$への距離は$PH=\mathrm{\mid }x-k\mathrm{\mid }$である。軌跡上では
$y^2=3x^2-2x=x(3x-2)$
であり，また$$A{P}^2=(x-1{)}^2+y^2=(x-1{)}^2+3x^2-2x=(2x-1{)}^2$$だから，軌跡上では$$AP=2x-1(x\ge \frac{2}{3})$$である。よって$$\frac{PH}{AP}=\frac{\mathrm{\mid }x-k\mathrm{\mid }}{2x-1}$$が全ての点$P$で一定となるためには，$k=\frac{1}{2}$である必要がある。このとき$$\frac{PH}{AP}=\frac{x-\frac{1}{2}}{2x-1}=\frac{1}{2}$$となる。

(3) $\mathrm{\angle }PAO=\theta$とすると，$\mathrm{\angle }POA=\theta \mathrm{/}2$，よって$$\mathrm{\angle }OPA=\pi -\frac{3\theta }{2}$$である。正弦定理より$$\frac{AP}{\sin (\theta \mathrm{/}2)}=\frac{OA}{\sin (3\theta \mathrm{/}2)}$$なので，$OA=1$を用いて$$AP=\frac{\sin (\theta \mathrm{/}2)}{\sin (3\theta \mathrm{/}2)}$$である。ここで$$\sin 3u=\sin u(1+2\cos 2u)$$を$u=\theta \mathrm{/}2$に適用すると$$\sin (3\theta \mathrm{/}2)=\sin (\theta \mathrm{/}2)(1+2\cos \theta )$$だから$$AP=\frac{1}{1+2\cos \theta }$$である。