上智大学 2019年度 一般選抜理工学部数学 第3問

(1) $\alpha ={\log }_{2}3$ より
$2^{\alpha }=3$.
したがって
$3\alpha \approx 4.75$
だから
$a_3=[3\alpha ]=4$.

(2) $b_3=k$ とすると$$k\le \frac{3\alpha }{\alpha -1}<k+1$$.
ここで $\alpha ={\log }_{2}3$ なので$$\frac{\alpha }{\alpha -1}\approx 2.71$$より$$b_3=[3\cdot 2.71\dots ]=8$$.
したがって $k=8$ である．

与えられた不等式は$$\frac{3^{k+c}}{2^k}\le 1<\frac{3^{k+1+c}}{2^{k+1}}$$であるから，左側は
$3^{k+c}\le 2^k$
と同値である．$k=8$ を代入すると$$3^{8+c}\le 2^8<\frac{3^{9+c}}{2}$$.
これを満たす整数は $c=-3$ である．実際，$$3^5=243\le 256<\frac{3^6}{2}=364.5$$となる．

(3) $a_n=[n\alpha ]\le 10$ は
$n\alpha <11$
と同値である．よって$$n<\frac{11}{\alpha }$$.
$\alpha \approx 1.58$ だから$$\frac{11}{\alpha }\approx 6.9$$となり，該当する自然数は $n=1,2,3,4,5,6$ の6個である．

(4) $b_n=\left[{\displaystyle \frac{n\alpha }{\alpha -1}}\right]\le 10$ は$$\frac{n\alpha }{\alpha -1}<11$$と同値である．したがって$$n<11\cdot \frac{\alpha -1}{\alpha }$$.
$\alpha \approx 1.58$ より$$11\cdot \frac{\alpha -1}{\alpha }\approx 4.1$$なので，該当する自然数は $n=1,2,3,4$ の4個である．

(5) (3) と同様に$$a_n\le 50⟺n\alpha <51$$だから$$n<\frac{51}{\alpha }$$.
$\alpha \approx 1.58$ より ${\displaystyle \frac{51}{\alpha }}\approx 32.1$ なので，
$s=32$.

また$$b_n\le 50⟺\frac{n\alpha }{\alpha -1}<51$$より$$n<51\cdot \frac{\alpha -1}{\alpha }$$.
$\alpha \approx 1.58$ から$$51\cdot \frac{\alpha -1}{\alpha }\approx 18.8$$となるので
$t=18$.
したがって
$s+t=50$.