上智大学 2024年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第2問

(1)

数学的帰納法で示す。

$n=1$ のとき，$a_1=2$ だから
$a_1-2=0$
であり，5で割り切れる。

$n=k$ のとき $a_k-2$ が5で割り切れる，すなわち
$a_k\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$
と仮定する。このとき$$a_{k+1}=a_k^2+a_k+1\equiv 2^2+2+1=7\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$$.
よって $a_{k+1}-2$ も5で割り切れる。

したがって，すべての $n$ について$$a_n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5),a_n-2\text{ は5で割り切れる。}$$(2)

まず$$a_{n+1}^2+1=(a_n^2+a_n+1{)}^2+1$$を展開すると$$=a_n^4+2a_n^3+3a_n^2+2a_n+2$$.
一方，
$(a_n^2+1)(a_n^2+2a_n+2)$
を展開すると$$=a_n^4+2a_n^3+2a_n^2+a_n^2+2a_n+2=a_n^4+2a_n^3+3a_n^2+2a_n+2$$.
よって$$a_{n+1}^2+1=(a_n^2+1)(a_n^2+2a_n+2)$$である。

ここで(1)より $a_n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ だから$$a_n^2+2a_n+2\equiv 2^2+2\cdot 2+2=10\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$$.
すなわち，$a_n^2+2a_n+2$ は5で割り切れる。

これを用いて数学的帰納法を行う。

$n=1$ のとき
$a_1^2+1=2^2+1=5$
であり，$5^1$ で割り切れる。

$n=k$ のとき $a_k^2+1$ が $5^k$ で割り切れると仮定する。このとき$$a_{k+1}^2+1=(a_k^2+1)(a_k^2+2a_k+2)$$.
仮定より第1因子は $5^k$ で割り切れ，また(1)より第2因子は5で割り切れるから，積は $5^{k+1}$ で割り切れる。

よってすべての $n$ について
$a_n^2+1\text{ は }{5}^n\text{ で割り切れる。}$