上智大学 2019年度 一般選抜理工学部数学 第4問

(1) $C$ は軸が $y$ 軸に平行で原点を通るから
$y=a{x}^2+bx$
とおける．接点の $x$ 座標が $t$ で，そのときの接線が $\mathrm{\ell }:y=-x+2$ であるから$$f(t)=2-t,f^{\mathrm{\prime }}(t)=-1$$が成り立つ．

ここで $f(x)=a{x}^2+bx$ とすると
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+b$.
したがって$$2at+b=-1,a{t}^2+bt=2-t$$.
1つ目から $b=-1-2at$，これを2つ目に代入して
$a{t}^2+t(-1-2at)=2-t$
より
$-a{t}^2=2$.
ゆえに$$a=-\frac{2}{t^2},b=-1+\frac{4}{t}$$.
よって放物線は$$y=-\frac{2}{t^2}{x}^2+(-1+\frac{4}{t})x$$である。

頂点の $x$ 座標は$$-\frac{b}{2a}=\frac{t(4-t)}{4}$$であり，そのときの $y$ 座標は$$-\frac{b^2}{4a}=\frac{(4-t{)}^2}{8}$$である．したがって
$A(\frac{t(4-t)}{4},\frac{(4-t{)}^2}{8})$
である．

(2) 放物線 $C$ の $x$ 軸との交点は，$$y=x(-\frac{2}{t^2}x-1+\frac{4}{t})$$より $x=0$ と$$x=\frac{t(4-t)}{2}$$である．$0<t<4$ では後者は正なので，囲まれた部分の面積 $S$ は$$S={\int }_0^{\frac{t(4-t)}{2}}(-\frac{2}{t^2}{x}^2+(-1+\frac{4}{t})x)dx$$である．計算すると$$S=\frac{t(4-t{)}^3}{24}$$.
よって$$S(t)=\frac{t(4-t{)}^3}{24}$$とおける．これを微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{(4-t{)}^2(1-t)}{6}$$であるから，$0<t<4$ において最大は $t=1$ のときに生じる．その値は
$S(1)=\frac{9}{8}$
である．

(3) (1) の結果より，$D$ は媒介変数 $t$ により$$x=\frac{t(4-t)}{4},y=\frac{(4-t{)}^2}{8}$$と表される．ここで $u=4-t$ とおくと$$x=u-\frac{u^2}{4},y=\frac{u^2}{8}$$であるから$$u=\sqrt{8y}$$を用いて消去すると$$x=\sqrt{8y}-2y$$となる．よって$$x+2y=\sqrt{8y}=2\sqrt{2y}$$だから，両辺を2乗して
$x^2+4xy+4y^2=8y$
すなわち
$x^2+4xy+4y^2-8y=0$
を得る．これが $D$ の方程式である．

この曲線の接線の傾きを調べるために，$t$ を媒介変数とみると$$\frac{dx}{dt}=1-\frac{t}{2},\frac{dy}{dt}=\frac{t-4}{4}$$なので$$\frac{dy}{dx}=\frac{t-4}{4-2t}$$.
第2象限にある接点に対応する部分では $t>4$ であり，したがって接線の傾きは
$-\frac{1}{2}<k<0$
である．

(4) $D$ と $y$ 軸で囲まれる部分の面積は，$y$ を $0$ から $2$ まで動かして$$\int xdy$$で求めることができる．ここで$$x=\sqrt{8y}-2y$$より，$u=\sqrt{8y}$ とおけば $y={\displaystyle \frac{u^2}{8}}$，$dy={\displaystyle \frac{u}{4}}du$ だから$${\int }_0^{2}xdy={\int }_0^4(u-\frac{u^2}{4})\frac{u}{4}du={\int }_0^4(\frac{u^2}{4}-\frac{u^3}{16})du\mathrm{.}$$これを計算すると$${[\frac{u^3}{12}-\frac{u^4}{64}]}_0^4=\frac{4}{3}$$.
したがって面積は
$\frac{4}{3}$
である．

(5) (3) で得た曲線の方程式
$x^2+4xy+4y^2-8y=0$
が求める関係式である．