上智大学 2020年度 一般選抜理工学部数学 第1問

(1)
$0\le x\le 1$ では $0\le x^n\le 1$ だから，$e^{-x^n}<1$ である。したがって$${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1{e}^{-x^n}dx<{\int }_0^{1}1dx=1.$$(2)
$t=x^n$ とおくと $dt=n{x}^{n-1}dx$ であるから$${\int }_1^r{x}^{n-1}f(x)dx={\int }_1^r{x}^{n-1}{e}^{-x^n}dx=\frac{1}{n}{\int }_1^{r^n}{e}^{-t}dt\mathrm{.}$$よって$${\int }_1^r{x}^{n-1}f(x)dx<\frac{1}{n}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}dt=\frac{1}{en}\mathrm{.}$$したがって$${\int }_1^r{x}^{n-1}f(x)dx<\frac{1}{en}$$が成り立つ。

(3)
$r>1$ とする。$${\int }_0^{r}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{r}f(x)dx\mathrm{.}$$(1)より最初の積分は $1$ 未満である。
また $x\ge 1$ では $x^{n-1}\ge 1$ だから$$f(x)=e^{-x^n}\le x^{n-1}{e}^{-x^n}=x^{n-1}f(x)$$である。したがって (2) を用いて$${\int }_1^{r}f(x)dx\le {\int }_1^r{x}^{n-1}f(x)dx<\frac{1}{en}\mathrm{.}$$ゆえに$${\int }_0^{r}f(x)dx<1+\frac{1}{en}\mathrm{.}$$以上で示された。