上智大学 2020年度 一般選抜理工学部数学 第2問

(1)
$y=0$ のとき，$2x\le n$ より$$x=0,1,\dots ,\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$$であるから，点の個数は $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1$ 個である。

$y=1$ のとき，$2x+3\le n$ より
$2x\le n-3$
であるから，点の個数は $\lfloor \frac{n-3}{2}\rfloor +1$ 個である。

よって合計は$$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lfloor \frac{n-3}{2}\rfloor +2.$$これを偶奇で確かめると常に $n$ に等しい。実際，$n=2m$ のとき
$(m+1)+(m-1)=2m$,
$n=2m+1$ のとき
$(m+1)+m=2m+1$
である。したがって個数は $n$ 個である。

(2)
$D_n$ を $a_n$ に対応する領域とする。(1)より，$D_n$ に属する格子点のうち $y=0,1$ のものは $n$ 個である。
残りは $y\ge 2$ であり，その各点 $(x,y)$ に対し $(x,y-2)$ を対応させると$$2x+3y\le n⟺2x+3(y-2)\le n-6$$となる。よって $D_{n-6}$ の格子点と1対1に対応する。したがって
$a_n=a_{n-6}+n$
が成り立つ。

(3)
まず$$a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4,a_5=5,a_6=7$$である。
いま $n=6q+r$ $(1\le r\le 6)$ とすると，(2)より$$a_n=a_r+\sum _{k=1}^q(6k+r)$$であり，$$\sum _{k=1}^q(6k+r)=3q(q+1)+rq\mathrm{.}$$したがって
$a_n=a_r+3q(q+1)+rq$.
これを $n=6q+r$ に戻して整理すると
$a_n-\frac{(n+3{)}^2}{12}$
は $r$ によって
$-\frac{1}{3},-\frac{1}{12},0,-\frac{1}{12},-\frac{1}{3},\frac{1}{4}$
のいずれかになる。したがって$$\mid a_n-\frac{(n+3{)}^2}{12}\mid <\frac{1}{2}$$がすべての自然数 $n$ で成り立つ。

(4)
(3)より$$a_n=\lfloor \frac{(n+3{)}^2}{12}\rfloor$$とみてよい。実際に$$a_{31}=\lfloor \frac{{34}^2}{12}\rfloor =96<100,a_{32}=\lfloor \frac{{35}^2}{12}\rfloor =102\ge 100$$である。
よって $a_n\ge 100$ を満たす最小の自然数は
$32$
である。