上智大学 2023年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第2問

(i) $A$ は $f(1)=0$ を満たす関数全体である。

(P) について，$f(1)=0,g(1)=0$ なら$$(f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0$$より，$f+g$ も $A$ の要素である。

(Q) について，$$(fg)(1)=f(1)g(1)=0\cdot 0=0$$より，$fg$ も $A$ の要素である。

(R) について，$\alpha \mathrm{\ne }0$ とすると$$(\alpha f)(1)=\alpha f(1)=\alpha \cdot 0=0$$より，$\alpha f$ も $A$ の要素である。

したがって (i) では P，Q，R が成り立つ。

(ii) $A$ は「ある正の実数 $a$ で $f(a)=0$ となる」関数全体である。

(P) は成り立たない。たとえば $f(x)=x-1$，$g(x)=2-x$ とすると，それぞれ $x=1$，$x=2$ で0となるので，ともに $A$ の要素である。しかし
$(f+g)(x)=1$
となり，正の実数の範囲で0にならないから $A$ の要素でない。

(Q) は成り立つ。$f(a)=0$ なら$$(fg)(a)=f(a)g(a)=0\cdot g(a)=0$$であり，$fg$ も少なくとも $x=a$ で0となる。

(R) も成り立つ。$f(a)=0$ なら$$(\alpha f)(a)=\alpha f(a)=\alpha \cdot 0=0$$より，$\alpha f$ も $A$ の要素である。

したがって (ii) では Q，R が成り立つ。

(iii) $A$ は全ての正の実数 $x$ に対して $f(x)>0$ を満たす関数全体である。

(P) について，$f(x)>0,g(x)>0$ なら，任意の正の実数 $x$ で
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)>0$
だから，$f+g\in A$ である。

(Q) についても，
$(fg)(x)=f(x)g(x)>0$
より，$fg\in A$ である。

(R) については，$\alpha <0$ のとき $(\alpha f)(x)<0$ となり $A$ に入らない。したがって，0でない定数倍全体では閉じていない。

よって (iii) では P，Q が成り立つ。

(iv) $A$ は，定義域 $\{x\mid x>0\}$ のどこかで連続でない関数全体である。

(R) は成り立つ。$f$ がある点 $c>0$ で不連続なら，$\alpha \mathrm{\ne }0$ に対し $\alpha f$ も同じ点 $c$ で不連続である。実際，$\alpha f$ が連続なら $f=(1\mathrm{/}\alpha )(\alpha f)$ も連続になってしまい矛盾する。

(P) は成り立たない。たとえば$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (x\in \mathbb{Q})\\ 0& (x\mathrm{\notin }\mathbb{Q})\end{array},g(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x\in \mathbb{Q})\\ 1& (x\mathrm{\notin }\mathbb{Q})\end{array}$$とすると，どちらもどこでも不連続である。しかし $f+g\equiv 1$ は連続なので $A$ に入らない。

(Q) も成り立たない。上の $f,g$ では $fg\equiv 0$ となり，これも連続であるから $A$ に入らない。

したがって (iv) では R のみが成り立つ。