上智大学 2023年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第1問

(1) 全事象は6枚から3枚選ぶので，${}_6{\mathrm{C}}_3=20$通りである。

カードの偏角に注目する。実数$\frac{1}{2},1,2$の偏角はすべて0であり，$\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}$，$\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$，$\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$ の偏角はそれぞれ $\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}$ である。

3枚の積が虚軸上にあるためには，積の偏角が $\frac{\pi }{2}$ になればよい。よって，選んだ3枚のうち複素数カードの偏角の和が $\frac{\pi }{2}$ であればよい。

可能な組は次の2種類である。
- $\frac{\pi }{2}$ をもつカード1枚と実数カード2枚を選ぶ。実数カードは3枚あるから，通り数は ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通り。
- $\frac{\pi }{6}$ と $\frac{\pi }{3}$ をもつ2枚と実数カード1枚を選ぶ。実数カードは3枚あるから，通り数は3通り。

したがって条件を満たすのは合計 $3+3=6$ 通りである。よって求める確率は$$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$である。

(2) 原点からの距離は絶対値の積である。各カードの絶対値は $\frac{1}{2},1,2,1,1,1$ である。距離が1となるには，積の絶対値が1でなければならない。

$\frac{1}{2}$ と2を同時に選ぶと，この2枚の積の絶対値は1になる。残る1枚は絶対値1のカード，すなわち $1,\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6},\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3},\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$ の4枚から任意に選べる。したがって有利な組は4通りである。

さらに，絶対値1の4枚から3枚を選ぶ場合も，積の絶対値は1である。よってこの場合の有利な組は ${}_4{\mathrm{C}}_3=4$ 通りである。

したがって有利事象は合計 $4+4=8$ 通りである。よって求める確率は$$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$$である。