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上智大学 2024年度 TEAPスコア利用方式TEAP2数学（PM） 第2問

平面 α 上にある長方形 ABCD と，α 上にない点 O で定まる四角錐 O-ABCD を考える。OA→=a⃗,OB→=b⃗,OC→=c⃗,OD→=d⃗ とするとき，∣a⃗∣=9,∣b⃗∣=7,∣c⃗∣=211,a⃗⋅b⃗=33,b⃗⋅c⃗=34である。

(1) d⃗ を a⃗,b⃗,c⃗ で表せ。

(2) a⃗⋅c⃗ を求めよ。

(3) O から平面 α に下ろした垂線を OH とする。OH→ を a⃗,b⃗,c⃗ で表し，点 H が長方形のどの位置にあるか答えよ。

(4) 長方形 ABCD の面積を求めよ。

(5) 四角錐 O-ABCD の体積を求めよ。

難易度6/ 10計算量7/ 10目安24分

ベクトル、図形と方程式　ベクトル成分計算、内積の利用、面積計算、体積計算

方針

長方形の平行関係と直交関係をベクトルで表す。垂足 H は平面上の一次結合で置き，OH→ が隣り合う2辺に垂直となる連立方程式を解く。底面積と高さから体積を求める。

解答

(1) 長方形では AD→=BC→ だから，d⃗=a⃗−b⃗+c⃗ である。

(2) (b⃗−a⃗)⋅(c⃗−b⃗)=0 より，a⃗⋅c⃗=18 である。

(3) OH→=sa⃗+tb⃗+(1−s−t)c⃗ とおく。OH→ が b⃗−a⃗ と c⃗−b⃗ の双方に垂直である条件を解くと，s=1/4, t=3/20 を得る。したがって OH→=a⃗/4+3b⃗/20+3c⃗/5 である。係数がすべて正で和が1だから，H は △ABC の内部にある。

(4) ∣b⃗−a⃗∣2=64, ∣c⃗−b⃗∣2=25 なので，長方形の面積は 8⋅5=40 である。

(5) (3) の式から ∣OH→∣2=36 となるので，高さは6である。よって体積は 40⋅6/3=80 である。

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出典: 上智大学 2024年度 TEAP2数学（PM）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。