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上智大学 2025年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第3問

座標空間内において，0≤x≤1,0≤y≤1,z=0の表す xy 平面上の領域に，不透明で厚みの無視できる1辺の長さが1の正方形の板 P が置いてあり，点 L(0,0,2) に点光源がある。板 P を，x 軸を回転軸として，z 座標が正の側に角 θ だけ回転させたとき，xy 平面上で板 P の影になる領域を D とする。ただし，0<θ<π2 とする。

(1) D の形状を求めよ。
(2) D に属する点の y 座標の最大値を a とする。a は sin⁡θ=サニ のとき最大となる。このとき a=ヌネノ であり，原点から最も遠い D 上の点の x 座標は ハヒ である。
(3) D の面積は sin⁡θ=フヘ のとき最大となる。このとき D の面積は ホマミ である。

難易度7/ 10計算量6/ 10目安22分

ベクトル、図形と方程式、関数、微分　座標設定、回転・拡大、面積計算、微分による最大最小、図形的解釈

方針

板の4頂点を回転後の座標で表し，光源 L から平面 z=0 への中心投影を求める。これにより影の頂点が決まり，D の形が判定できる。
(2) は D の上辺の y 座標を θ の式で表し，s=sin⁡θ とおいて微分する。最大値を与える s を求めたら，そのときの y 最大値と右上頂点の x 座標を代入して計算する。
(3) は D が台形であることから，上底・下底・高さを用いて面積を式にする。これも s=sin⁡θ の関数として微分し，最大条件を求める。

解答

(1) 板 P の4頂点を，回転前に(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0) とおく。x 軸まわりに θ 回転すると，y 成分が cos⁡θ 倍，z 成分が sin⁡θ 倍されるので，回転後の頂点は(0,0,0), (1,0,0), (1,cos⁡θ,sin⁡θ), (0,cos⁡θ,sin⁡θ)である。

点 L(0,0,2) から各点への直線を z=0 平面と交わらせる。点 (x,y,z) の投影点を (X,Y,0) とすると，直線 L と (x,y,z) を結ぶ線分上で z=0 となる比からX=2x2−z,Y=2y2−zである。

したがって4頂点の影は(0,0), (1,0), (22−sin⁡θ,2cos⁡θ2−sin⁡θ), (0,2cos⁡θ2−sin⁡θ)となる。これらを結んだ図形は，上底と下底が水平な台形である。

(2) D に属する点の y 座標の最大値は，上辺の y 座標a=2cos⁡θ2−sin⁡θである。s=sin⁡θ とおくとa=21−s22−s.
これを最大化するため，a2 を考えるとa2=4(1−s2)(2−s)2.
分母は正なので，g(s)=1−s2(2−s)2を最大化すればよい。

微分するとg′(s)=−2s(2−s)2−(1−s2)⋅2(2−s)(−1)(2−s)4=−2s(2−s)+2(1−s2)(2−s)3=2−4s(2−s)3.
よって g′(s)=0 となるのは s=1/2 のときで，0<s<1 で符号は正から負に変わるから最大である。したがって
sin⁡θ=12
のとき最大。

このときa=2⋅1−(1/2)22−1/2=2⋅3/23/2=233.また，原点から最も遠い点は右上頂点であり，その x 座標は22−sin⁡θ=23/2=43.

(3) D は下底の長さが 1，上底の長さが 22−s，高さが 21−s22−s の台形である。よって面積 S はS=12(1+22−s)⋅21−s22−s=4−s(2−s)21−s2.
これを最大化する。平方をとってS2=(4−s)2(1−s2)(2−s)4.
微分計算を簡単にするためh(s)=log⁡S2=2log⁡(4−s)+log⁡(1−s2)−4log⁡(2−s)とおくと，h′(s)=−24−s−2s1−s2+42−s.
これを通分して整理するとh′(s)=2(3s−2)(4−s)(1−s2)(2−s)となる。分母は 0<s<1 で正なので，臨界点は s=2/3 であり，ここで最大となる。

したがって
sin⁡θ=23
のとき面積最大。
そのときS=4−2/3(2−2/3)21−4/9=10/3(4/3)2⋅53=103⋅916⋅53=558.よって最大面積は 585 である。

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出典: 上智大学 2025年度 理工系数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。