上智大学 2024年度 TEAPスコア利用方式TEAP2数学（PM） 第1問

(1) ユークリッドの互除法を逆にたどると $1=77\cdot 25-52\cdot 37$ である。一般解は $x=52k+25,y=-77k-37$ だから，$x$ が正で最小となるのは $k=0$ のときであり，$(x,y)=(25,-37)$ である。

(2) $$\sqrt{2}+\sqrt{6}i=2\sqrt{2}(\cos (\pi \mathrm{/}3)+i\sin (\pi \mathrm{/}3))$$ である。したがって $$r=(2\sqrt{2}{)}^{2024}=2^{3036}$$ なので，${\log }_{2}r\mathrm{/}2024=3\mathrm{/}2$ である。偏角は $2024\pi \mathrm{/}3$ を $2\pi$ で整理して $\theta =2\pi \mathrm{/}3$ となる。

(3) (i) $1.28=2^7\cdot {10}^{-2}$ より，$${\log }_{10}1.28=7\cdot 0.301-2=0.107$$ である。

(ii) 常用対数をとると，条件は ${\log }_{10}n\mathrm{/}n<0.00107$ となる。$f(x)={\log }_{10}x\mathrm{/}x$ は $x>e$ で減少する。また $$f(2^{11})\simeq 0.001616>0.00107$$，$$f(2^{12}-1)\simeq 0.000882<0.00107$$ である。よって最小の $n$ は $2^{11}<n<2^{12}$ を満たすので，$a=11$ である。