上智大学 2026年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第3問

(1)
座標を$$O=(0,0,0),A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)$$とおくと，$$D=(1,1,0),F=(1,0,1),G=(1,1,1),E=(0,1,1)$$である。中点$P,Q$は$$P=(\frac{1}{2},1,0),Q=(1,\frac{1}{2},1)$$である。

平面$\alpha$は$O,P,Q$を通るから，方程式を
$ax+by+cz=0$
とおくと，$P,Q$を代入して$$\frac{a}{2}+b=0,a+\frac{b}{2}+c=0$$を得る。これより$$a=-4,b=2,c=3$$の比が得られるので，平面$\alpha$の方程式は
$4x-2y-3z=0$
である。

この平面は立方体と5点で交わるので，断面は五角形である。断面の頂点は順に
$O,P,S,Q,R$
である。

(2)
直線$CF$上の点は
$(t,0,1)$
と表せる。これを平面方程式に代入すると
$4t-3=0$
より
$t=\frac{3}{4}$
である。したがって$$\overrightarrow{CR}=\frac{3}{4}\vec{a}$$である。

(3)
直線$DG$上の点は
$(1,1,s)$
と表せる。平面方程式に代入すると
$4-2-3s=0$
より
$s=\frac{2}{3}$
である。したがって$$\overrightarrow{DS}=\frac{2}{3}\vec{c}$$である。

(4)
直線$EG$上の点は
$(t,1,1)$
と表せる。平面方程式に代入して
$4t-2-3=0$
より
$t=\frac{5}{4}$
である。したがって$$\overrightarrow{ET}=\frac{5}{4}\vec{a}$$である。

(5)
平面$4x-2y-3z=0$を$$x=\frac{2y+3z}{4}$$とみる。$yz$平面への射影を考えると，断面の射影図形は$$(0,0),(\frac{1}{2},0),(1,\frac{2}{3}),(\frac{1}{2},1),(0,1)$$を頂点とする五角形であり，その面積は
$\frac{11}{12}$
である。
また$$\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }y}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }z}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{29}}{4}$$だから，断面積は$$\frac{11}{12}\cdot \frac{\sqrt{29}}{4}=\frac{11\sqrt{29}}{48}$$である。

(6)
頂点$A=(1,0,0)$は
$4x-2y-3z\ge 0$
を満たす側にある。したがって$A$を含む立体の体積は$$V_1={\int }_0^1{\int }_0^1(1-\frac{2y+3z}{4})dydz$$である。計算すると$$V_1={\int }_0^1{\int }_0^1(1-\frac{y}{2}-\frac{3z}{4})dydz=\frac{3}{8}$$となる。よって
$V_2=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$
であるから$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{5}$$である。