上智大学 2026年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第2問

(1)
$f(x)=e^x$とおくと，$x=1$で$$f(1)=e\approx 2.72,f^{\mathrm{\prime }}(1)=e\approx 2.72$$である。よって$x=1$における接線は
$y-2.72=2.72(x-1)$
すなわち
$y=2.72x$
である。これで$e^{\alpha }=1.2\alpha +1.6$を近似すると$$2.72\alpha =1.2\alpha +1.6$$より
$1.52\alpha =1.6$
となるから$$\alpha \approx \frac{1.6}{1.52}\approx 1.0526\dots$$したがって，小数第2位までで
$\alpha \approx 1.05$
である。

(2) (i)
大きなボールが的に当たる確率は$$\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$なので期待値は
$270\cdot \frac{1}{6}=45$
円である。
小さなボールが的に当たる確率は$$\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{20}$$なので期待値は
$280\cdot \frac{3}{20}=42$
円である。

(2) (ii)
1回目は大きなボールなので，1回目の期待値は45円である。
1回目が通り抜けた確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$であり，そのとき2回目も大きなボールなので2回目の期待値は45円である。1回目が通り抜けなかった確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$であり，そのとき2回目は小さなボールなので2回目の期待値は42円である。したがって総額の期待値は$$45+\frac{1}{3}\cdot 45+\frac{2}{3}\cdot 42=88$$円である。

次に，2回目に投げたボールが的に当たったとき，それが大きなボールである確率を求める。
2回目が大きなボールであるのは1回目が通り抜けたときだけなので，その確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$である。このとき2回目が的に当たる確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$だから，「2回目が大きなボールで，かつ的に当たる」確率は$$\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}$$である。
一方，2回目に投げたボールが的に当たる確率は$$\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}+\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{20}=\frac{7}{45}$$である。よって求める確率は$$\frac{1\mathrm{/}18}{7\mathrm{/}45}=\frac{5}{14}$$である。