東北大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

与えられた2つの含意を順に用いると$$P(1)\Rightarrow Q(2)\Rightarrow P(3)\Rightarrow Q(4)\Rightarrow \cdots \Rightarrow Q(10)$$である。したがって $Q(10)$ は正しい。

一方、$P(1)$ から得られる $P$ は奇数番号だけであり、$P(10)$ へは到達しない。
含意の逆は仮定されていないので、$P(10)$ は正しいとはいえない。
ただし、これは $P(10)$ が誤りだと断定する意味ではない。

(2)

上の連鎖から、すべての奇数 $n$ について $P(n)$ が正しい。また $Q(9)$ から$$Q(9)\Rightarrow P(10)\Rightarrow Q(11)\Rightarrow P(12)\Rightarrow \cdots$$であるから、10以上のすべての偶数 $n$ についても $P(n)$ が正しい。
よって、正しいといえる範囲は$$n\text{ が奇数}\text{または}n\geqq 10\text{ の偶数}$$である。

奇数番号の列と $Q(9)$ から始まる偶数番号の列を別々に数学的帰納法で示し、最後に合併する。

(1)

$m\geqq 0$ について $P(2m+1)$ が正しいことを帰納法で示す。初めは $P(1)$ が正しく、$$P(2m+1)\Rightarrow Q(2m+2)\Rightarrow P(2m+3)$$だから帰納が進む。よって $Q(10)$ は正しい。一方、偶数番号の $P$ は得られないため、$P(10)$ は正しいとはいえない。

(2)

$Q(9)\Rightarrow P(10)$ を初めとして同じ帰納を行うと、$m\geqq 5$ について $P(2m)$ が正しい。奇数番号と合わせ、求める範囲は$$n\text{ が奇数}\text{または}n\geqq 10\text{ の偶数}$$である。