東北大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

第1の放物線の導関数は $6x-4$ だから、接点 $x=1$ での傾きは2である。よって$$l:y-4=2(x-1),l:y=2x+2.$$(2)

第2の放物線が $(1,4)$ を通り、そこで傾き2となる条件は$$2+a+b=4,4+a=2.$$したがって$$a=-2,b=4.$$(3)

2つの放物線と直線 $l$ との差を計算すると$$C_1-l=3(x-1{)}^2,C_2-l=2(x-1{)}^2$$である。どちらも $0\leqq x\leqq 1$ で放物線が直線の上にあるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}3(x-1{)}^{2}dx=1,}\\ {\displaystyle S_2}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}2(x-1{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$S_1:S_2=3:2.$$

「放物線とその接線との差は、接点を二重根にもつ二次式」であることを使う。
各放物線の最高次係数だけで接線との間の面積比が決まるため、積分計算を共通化する。

(1)

$C_1$ の導関数は $6x-4$ であり、$x=1$ での傾きは2である。よって$$l:y-4=2(x-1),l:y=2x+2.$$(2)

$C_2$ と $l$ の差は最高次係数が2の二次式で、$x=1$ を二重根にもつ。
したがって差は必ず $2(x-1{)}^2$ である。ゆえに$$2x^2+ax+b=(2x+2)+2(x-1{)}^2=2x^2-2x+4,$$したがって$$a=-2,b=4.$$(3)

同じ理由で$$C_1-l=3(x-1{)}^2,C_2-l=2(x-1{)}^2\mathrm{.}$$囲まれる範囲は $0\leqq x\leqq 1$ であるから$$S_1=3{\int }_0^1(x-1{)}^{2}dx,S_2=2{\int }_0^1(x-1{)}^{2}dx\mathrm{.}$$共通の積分は正なので、比は係数の比に等しい。よって$$S_1:S_2=3:2.$$