東北大学 2017年度文理共通数学前期文系第1問・理系第4問解答・解説

問題

$s$ を正の実数とする。鋭角三角形 $A B C$ において，辺 $A B$ を $s : 1$ に内分する点を $D$ ，辺 $B C$ を $s : 3$ に内分する点を $E$ とする。線分 $C D$ と線分 $A E$ の交点を $F$ とする。

(1)

A F = α A B + β A C

とするとき， $α$ と $β$ を求めよ。

(2) $F$ から辺 $A C$ に下ろした垂線を $F G$ とする。 $F G$ の長さが最大となるときの $s$ を求めよ。

出典：東北大学 2017年度前期日程第2次学力試験文理共通前期文系第1問・理系第4問

方針

解法1

$A$ を基準点にして， $A B$ と $A C$ の係数で $D, E, F$ を表す。 $F$ を直線 $A E$ 上と直線 $C D$ 上の2通りに置いて係数比較を行い， $α, β$ を $s$ の式にする。(2)では $A C$ を底辺と見れば， $F$ から $A C$ までの距離は $B$ から $A C$ までの距離の $α$ 倍である。したがって $s > 0$ で $α$ を最大化し，微分または相加相乗平均で等号条件を確認する。

解法2

三角形の面積比を用いて交点 $F$ の重心座標を直接求める。 $F$ の $B$ 成分が辺 $A C$ からの距離比に一致するので，最後は相加相乗平均により分母を最小化する。

解答

解法1

(1)

$A B = b$ ， $A C = c$ とおく。 $D$ は $A B$ を $s : 1$ に内分し， $E$ は $B C$ を $s : 3$ に内分するから

A D = \frac{s}{s + 1} b, A E = \frac{3}{s + 3} b + \frac{s}{s + 3} c

である。 $F$ が $A E$ 上にあることから

A F = λ (\frac{3}{s + 3} b + \frac{s}{s + 3} c)

と書ける。また $F$ が $C D$ 上にあることから $A F = (1 - μ) c + \frac{μ s}{s + 1} b$ とも書ける。よって係数を比較して

α = \frac{3 λ}{s + 3} = \frac{μ s}{s + 1}, β = \frac{λ s}{s + 3} = 1 - μ

を得る。ここで $λ$ を消去すると $α = \frac{3 β}{s}$ であり， $μ$ を消去すると $β = 1 - \frac{α ( s + 1 )}{s}$ である。したがって $β = 1 - \frac{3 β ( s + 1 )}{s ^{2}}, β {s^{2} + 3 s + 3} = s^{2}$ より $β = \frac{s ^{2}}{s ^{2} + 3 s + 3}, α = \frac{3 s}{s ^{2} + 3 s + 3}$ である。

(2)

辺 $A C$ を底辺と見て， $B$ から直線 $A C$ までの距離を $h$ とする。点 $F$ は $A F = α b + β c$ と表されるので， $A C$ に垂直な方向の成分は $α b$ の分だけである。したがって $F G = α h$ であり， $h$ は三角形 $A B C$ で固定されているから， $α$ を最大にすればよい。 $α (s) = \frac{3 s}{s ^{2} + 3 s + 3}$ とおくと

α^{'} (s) = \frac{3 ( s ^{2} + 3 s + 3 ) - 3 s ( 2 s + 3 )}{( s ^{2} + 3 s + 3 ) ^{2}} = \frac{3 ( 3 - s ^{2} )}{( s ^{2} + 3 s + 3 ) ^{2}}

である。 $s > 0$ より， $0 < s < 3$ で増加し， $s > 3$ で減少する。よって $F G$ が最大となるのは $s = 3$ のときである。

別解。 $α$ を $α = \frac{3}{s + 3 + \frac{3}{s}}$ と変形する。 $s > 0$ で $s + \frac{3}{s} ≧ 23$ であり，等号は $s = 3$ のときに限る。分母が最小のとき $α$ が最大になるので，同じく $s = 3$ を得る。

解法2

(1)

三角形 $A B C$ における点 $F$ の重心座標を $(x : y : z)$ とすると， $A F = \frac{y}{x + y + z} A B + \frac{z}{x + y + z} A C$ である。

$D$ は $A B$ を $s : 1$ に内分するので，直線 $C D$ 上では $x : y = 1 : s$ である。また $E$ は $B C$ を $s : 3$ に内分するので，直線 $A E$ 上では $y : z = 3 : s$ である。したがって

(x : y : z) = (3 : 3 s : s^{2})

となる。よって

α = \frac{3 s}{s ^{2} + 3 s + 3}, β = \frac{s ^{2}}{s ^{2} + 3 s + 3} .

(2)

$B$ から直線 $A C$ までの距離を $h$ とする。重心座標の $B$ 成分が $α$ であるから， $F$ から $A C$ までの距離は

F G = α h = \frac{3 h}{s + 3 + 3/ s}

である。ここで $s > 0$ より

s + \frac{3}{s} ≧ 23

であり，等号は $s = 3$ のときに限る。したがって分母が最小，すなわち $F G$ が最大となるのは $s = 3$ である。

東北大学 2017年度文理共通数学 前期 文系第1問・理系第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東北大学 2017年度
文理共通数学前期文系第1問・理系第4問