問題
を1ではない正の実数とし，を正の整数とする。次の不等式を考える。
(1) のとき，この不等式を満たす整数をすべて求めよ。
(2) この不等式を満たす整数が存在するためのについての必要十分条件を求めよ。
出典：東北大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 前期 文系第2問・理系第2問
方針
解法1（真数条件と整数変数で整理する）
真数条件から を確認し、 とおく。底が より大きいか小さいかで不等号の向きが逆になるため、 では 、 では を調べる。
解法2（二次式の端の符号を見る）
区間 で を考える。 はこの区間で狭義単調増加するため、整数点で または が実現する条件は両端に最も近い整数だけで判定できる。
解答
解法1（真数条件と整数変数で整理する）
(1)
真数条件は
であるから、 である。 とおけば
となる。
のとき、対数関数は増加するので
したがって 、すなわち
である。
一方 のとき、対数関数は減少するので
これを満たすのは だけである。 は等号になるため除く。よって
である。
(2)
一般に真数条件から
である。
のときは を満たす整数 が必要である。 では候補がなく、 では に対して等号になる。 なら とすれば
となる。
のときは が必要である。 では不可能であり、 なら とすれば となる。したがって、どちらの場合も必要十分条件は
である。
解法2（二次式の端の符号を見る）
(1)
真数条件は である。また
とおく。
では が必要なので、真数条件と合わせて
したがって である。 では が必要なので
したがって である。
(2)
一般に
とおくと、 では
である。よって は狭義単調増加する。
では となる整数点が必要である。最大の候補 において
だから、存在条件は である。
では となる整数点が必要である。最小の候補 において
だから、やはり存在条件は である。