問題
整数が与えられたとき，整数についての方程式
(＊)
を考える。
(1) 次の空欄に入るべきに関する条件を答えのみ記せ。
与えられた整数に対し，(＊)が整数解をもつための必要十分条件は（空欄）である。
(2) 上の(1)で記した空欄の条件が必要十分条件であることを示せ。
(3) のとき，方程式(＊)を満たす正の整数の組をすべて求めよ。
方針
解法1（最大公約数と合同式を使う方法）
一次不定方程式 の可解条件は，係数の最大公約数 が右辺 を割り切ることとして考える。(2) では必要性は左辺が常に6の倍数であることから，十分性は として の具体的な整数解を1組作ることで示す。(3) は に直し，合同式から が3の倍数であることを使って正整数解を列挙する。
解法2（互除法で一般解を直接作る方法）
互除法から6を48と18の整数係数で表して可解条件を示す。 では1つの解から一般解を作り、正整数条件でパラメータを絞る。
解答
解法1（最大公約数と合同式を使う方法）
(1)
必要十分条件は である。
(2)
まず，任意の整数 に対して である。したがって方程式 が整数解をもつなら， は で割り切れなければならない。
逆に， が で割り切れるとする。 とおくと，方程式は すなわち と同値である。ここで とおけば となる。したがって整数解が存在する。以上より，条件は必要十分である。
(3)
のとき，方程式は であり，両辺を6で割って となる。これを で割った余りで見ると であり， は と互いに素なので である。
そこで とおくと より である。 が正の整数であるためには が必要である。したがって である。よって求める組は である。
解法2（互除法で一般解を直接作る方法）
(1)
必要十分条件は
である。
(2)
左辺 は常に6の倍数だから必要性は明らかである。逆に互除法より
である。 なら
と表せるので、 が整数解になる。よって条件は十分でもある。
(3)
の1つの整数解は である。2解の差を取ると だから、一般解は
である。正整数条件 から となる。したがって