問題
座標空間内の点は原点を中心とする半径1の球面上の点とする。点が直線上にないとき，点から直線に下ろした垂線をとし，三角形をを軸として一回転させてできる立体の体積をとする。
(1) をを用いて表せ。
(2) の最大値と，そのときにの満たす関係式を求めよ。
出典：東北大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文理共通 後期 文系第2問・理系第2問
方針
解法1（内積による射影で円錐を表す方法）
は単位ベクトルであり，直線 への点 の射影を考える。符号つき射影の長さは で，垂線の長さは となる。三角形 を のまわりに回転すると，高さ ，底面半径 の円錐になる。最大化は とおき， で を調べる。
解法2（直角三角形の角で円錐を表す方法）
と のなす角を と置く。円錐の高さと底面半径を三角比で表し、 の1変数にして最大化する。
解答
解法1（内積による射影で円錐を表す方法）
(1)
は原点中心，半径1の球面上にあるので である。したがって は単位ベクトルである。また である。
点 の直線 への符号つき射影の長さを とすると である。よって である。一方， なので，直角三角形 において である。
三角形 を を軸として一回転させると，高さ ，底面半径 の円錐ができる。したがって である。
(2)
とおく。 は単位ベクトルであるから，内積の大きさの評価より である。体積は である。
関数 を で考えると である。したがって は で増加し， で減少する。よって最大は のときで， である。したがって である。
そのときの条件は である。すなわち，もとの球面条件 のもとで を満たす点で最大となる。
解法2（直角三角形の角で円錐を表す方法）
(1)
であり、 と のなす角を とする。直角三角形 から
である。また だから
(2)
とおくと
微分すると
なので、最大は のときである。よって
また だから、最大となる条件は
である。