東北大 2021年度文系（後期）数学第3問｜問題・解答・解説

方針

(1) は直線を $y = m x + n$ とおき， $C_{a} : y = a x^{2} + 1 / a$ との共有方程式がすべての $a \neq 0$ で重解をもつ条件を判別式で表す。 $a$ に関する恒等式になるため， $n = 0, m^{2} = 4$ が必要になる。(2) は固定した $x$ に対して $y = a x^{2} + 1 / a$ が $a ≧ 1$ で動く範囲を調べる。 $x \neq 0$ では最小値を $a = 1 / ∣ x ∣$ が許されるかどうかで分け， $x = 0$ は別に扱う。

解答

(1)

直線を $y = m x + n$ とおく。この直線が $C_{a} : y = a x^{2} + \frac{1}{a}$ に接するためには，方程式 $a x^{2} + \frac{1}{a} = m x + n$ すなわち $a x^{2} - m x + \frac{1}{a} - n = 0$ が重解をもてばよい。判別式を $0$ とすると $m^{2} - 4 a (\frac{1}{a} - n) = 0$ であり，整理して $m^{2} - 4 + 4 a n = 0$ である。

これが0でないすべての実数 $a$ について成り立つには， $a$ の係数と定数項がともに $0$ でなければならない。したがって $n = 0, m^{2} = 4$ である。よって求める直線は $y = 2 x, y = - 2 x$ である。

(2)

固定した $x$ に対し， $y = a x^{2} + \frac{1}{a}$ が $a ≧ 1$ でとる値を調べる。

まず $x \neq 0$ とする。 $a > 0$ に対して $a x^{2} + \frac{1}{a} ≧ 2 ∣ x ∣$ であり，等号は $a ∣ x ∣ = \frac{1}{a}, a = \frac{1}{∣ x ∣}$ のときに成り立つ。 $∣ x ∣ ≦ 1$ なら $\frac{1}{∣ x ∣} ≧ 1$ なので， $a ≧ 1$ の範囲で最小値は $2 ∣ x ∣$ である。したがって $0 < ∣ x ∣ ≦ 1$ では $y ≧ 2 ∣ x ∣$ の点を通過する。

一方， $∣ x ∣ > 1$ なら $\frac{1}{∣ x ∣} < 1$ であり，許される範囲 $a ≧ 1$ では最小は端点 $a = 1$ で起こる。したがって $y ≧ x^{2} + 1$ である。

最後に $x = 0$ のときは $y = \frac{1}{a}$ であり， $a ≧ 1$ だから $0 < y ≦ 1$ である。

以上より，通過する領域は， $0 < ∣ x ∣ ≦ 1$ では $y ≧ 2 ∣ x ∣$ ， $∣ x ∣ > 1$ では $y ≧ x^{2} + 1$ ，さらに $x = 0$ では $0 < y ≦ 1$ となる点全体である。

別解

解法2（接点表示とパラメータ微分を使う方法）

方針

共通接線は $C_{a}$ 上の接点を文字で置き、傾きと切片がすべての $a$ で同じになる条件を調べる。通過領域は固定した $x$ に対する $a$ の関数を微分して最小値を求める。

解答

(1) $C_{a}$ の $x = t$ における接線は $y = 2 a t x + (\frac{1}{a} - a t^{2})$ である。傾きを一定値 $m$ にするには $t = m / (2 a)$ であり、そのとき切片は $\frac{1}{a} - a {(\frac{m}{2 a})}^{2} = \frac{1 - m^{2} / 4}{a}$ となる。これがすべての $a \neq 0$ で同じ値になるには $m^{2} = 4$ が必要で、そのとき切片は0である。したがって $y = 2 x, y = - 2 x$ である。

(2) 固定した $x \neq 0$ に対して $F (a) = a x^{2} + 1 / a (a ≧ 1)$ とおくと $F^{'} (a) = x^{2} - \frac{1}{a^{2}} .$ $0 < ∣ x ∣ ≦ 1$ では $a = 1 / ∣ x ∣$ で最小となり、最小値は $2 ∣ x ∣$ である。 $∣ x ∣ > 1$ では $F^{'} (a) > 0$ だから、端点 $a = 1$ で最小値 $x^{2} + 1$ をとる。さらに $x = 0$ では $y = 1 / a$ より $0 < y ≦ 1$ である。

よって通過領域は ${\begin{cases} y ≧ 2 ∣ x ∣ & (0 < ∣ x ∣ ≦ 1), \\ y ≧ x^{2} + 1 & (∣ x ∣ > 1), \\ 0 < y ≦ 1 & (x = 0) \end{cases}$ で表される。

総評

難度6、計算量5。想定時間は20分程度。放物線族の共通接線と通過領域を調べる問題である。(1) はすべての $a \neq 0$ に対する接線条件なので，判別式が $a$ によらず0になる必要がある。(2) では $x = 0$ だけ値域が $0 < y ≦ 1$ となり， $x \neq 0$ の最小値評価とは別扱いになる。図示では $∣ x ∣ = 1$ で $2 ∣ x ∣$ と $x^{2} + 1$ がつながることも確認するとよい。相加相乗平均と微分の2法で下端を照合した。特に $x = 0$ では下端0を含まない一方、上端1を含むため図の縦線の端点表示に注意する。

出典: 東北大学 2021年度後期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東北大学 2021年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第3問