東北大 2021年度文系（後期）数学第4問｜問題・解答・解説

方針

末尾がAまたはBである場合とCである場合に分ける。末尾がAまたはBなら次にAまたはBを置く方法は同じ文字を続ける1通りだけで，末尾がCならA,Bの2通りを置ける。ここから $g_{n + 1}, h_{n + 1}$ を出し， $f_{n} = g_{n} + h_{n}$ を使って $f_{n + 2} = 2 f_{n + 1} + f_{n}$ を導く。比 $a_{n} = f_{n + 1} / f_{n}$ は $a_{n + 1} = 2 + 1 / a_{n}$ を満たし，不動点 $1 + \sqrt{2}$ の上下に交互に現れることから大小を判定する。

解答

(1)

長さ $n$ の並べ方で，最後がAまたはBであるものを考える。最後がAなら次にAまたはCを置くことができるが，Bは置けない。最後がBなら次にBまたはCを置くことができるが，Aは置けない。したがって，最後がAまたはBである $g_{n}$ 通りから，長さ $n + 1$ で最後がAまたはBになるものは $g_{n}$ 通りである。

また最後がCである $h_{n}$ 通りからは，次にAまたはBを置く方法が2通りある。よって $g_{n + 1} = g_{n} + 2 h_{n}$ である。

一方，最後にCを置くことは，長さ $n$ のどの並べ方からも可能である。したがって $h_{n + 1} = g_{n} + h_{n}$ である。

(2) $f_{n} = g_{n} + h_{n}$ である。(1) より $f_{n + 1} = g_{n + 1} + h_{n + 1} = 2 g_{n} + 3 h_{n}$ である。さらに $\begin{aligned} f_{n + 2} & = 2 g_{n + 1} + 3 h_{n + 1} \\ = 2 (g_{n} + 2 h_{n}) + 3 (g_{n} + h_{n}) \\ = 5 g_{n} + 7 h_{n} \end{aligned}$ である。一方 $2 f_{n + 1} + f_{n} = 2 (2 g_{n} + 3 h_{n}) + (g_{n} + h_{n}) = 5 g_{n} + 7 h_{n}$ であるから $f_{n + 2} = 2 f_{n + 1} + f_{n}$ である。

(3) $a_{n} = \frac{f_{n + 1}}{f_{n}}$ とおく。(2) より $\begin{aligned} a_{n + 1} & = \frac{f_{n + 2}}{f_{n + 1}} \\ = \frac{2 f_{n + 1} + f_{n}}{f_{n + 1}} \\ = 2 + \frac{1}{a_{n}} \end{aligned}$ である。

また $f_{1} = 3$ ， $f_{2} = 7$ なので $a_{1} = \frac{7}{3}$ である。ここで $α = 1 + \sqrt{2}$ とおくと， $α$ は $α = 2 + \frac{1}{α}$ を満たす。さらに $a_{1} = \frac{7}{3} < 1 + \sqrt{2} = α$ である。

関数 $φ (x) = 2 + \frac{1}{x}$ は $x > 0$ で単調減少であり， $α$ を不動点にもつ。したがって $a_{n} < α$ なら $a_{n + 1} > α$ ， $a_{n} > α$ なら $a_{n + 1} < α$ である。よって帰納的に $n が奇数のとき a_{n} < α, n が偶数のとき a_{n} > α$ である。

最後に $a_{n + 1} - a_{n} = 2 + \frac{1}{a_{n}} - a_{n}$ である。右辺は $a_{n} < α$ のとき正， $a_{n} > α$ のとき負である。したがって $n が奇数のとき a_{n} < a_{n + 1}, n が偶数のとき a_{n} > a_{n + 1}$ である。

別解

解法2（一般項と交代する差の符号を使う方法）

方針

(1) (2) は末尾分類で漸化式を得る。(3) は特性方程式の2根を用いて $f_{n}$ を明示し、 $f_{n + 2} f_{n} - f_{n + 1}^{2}$ の符号を計算する。

解答

(1) 末尾がAまたはBなら、次にAまたはBを置く方法は同じ文字を置く1通りである。末尾がCなら2通りある。したがって $g_{n + 1} = g_{n} + 2 h_{n}, h_{n + 1} = g_{n} + h_{n} .$ (2) $f_{n} = g_{n} + h_{n}$ と(1)から整理すると $f_{n + 2} = 2 f_{n + 1} + f_{n} .$ (3) 空列を1通りとして $f_{0} = 1$ とおけば、 $f_{1} = 3$ とともに上の漸化式を満たす。 $α = 1 + \sqrt{2}, β = 1 - \sqrt{2}$ とすると、初期値を代入して $f_{n} = \frac{α^{n + 1} + β^{n + 1}}{2}$ を得る。ここで $α β = - 1, (α - β)^{2} = 8$ より $\begin{aligned} f_{n + 2} f_{n} - f_{n + 1}^{2} & = \frac{1}{4} (α β)^{n + 1} (α - β)^{2} \\ = 2 (- 1)^{n + 1} . \end{aligned}$ したがって $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{f_{n + 2} f_{n} - f_{n + 1}^{2}}{f_{n + 1} f_{n}}$ の符号は $(- 1)^{n + 1}$ と同じである。よって $n が奇数なら a_{n} < a_{n + 1}, n が偶数なら a_{n} > a_{n + 1} .$

総評

難度6、計算量5。想定時間は20分程度。隣接禁止の文字列を，末尾の状態で分類する数列問題である。 $g_{n}, h_{n}$ の2状態を正しく作れば， $f_{n + 2} = 2 f_{n + 1} + f_{n}$ は機械的に出る。(3) は比の漸化式 $a_{n + 1} = 2 + 1 / a_{n}$ と不動点 $1 + \sqrt{2}$ の関係を見る問題で，単調減少な写像のため上下が交互に入れ替わる点がポイントである。不動点による比較と一般項からの差の符号計算が一致し、初期値 $a_{1} = 7 / 3 < a_{2}$ も個別に確認した。

出典: 東北大学 2021年度後期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

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東北大学 2021年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第4問