東北大学 2024年度文理共通数学文系第1問・理系第1問解答・解説

問題

$a$ を正の実数とし， $f (x) = x^{2} - 2 a x + 4 a^{2}$ とする。 $O$ を原点とする $x y$ 平面上の放物線 $C : y = f (x)$ の頂点を $A$ とする。直線 $O A$ と $C$ の交点のうち $A$ と異なるものを $P (p, f (p))$ とし， $O$ から $C$ へ引いた接線の接点を $Q (q, f (q))$ とする。ただし， $q > 0$ とする。

(1) $p, q$ の値を $a$ を用いて表せ。また， $p > q$ であることを示せ。

(2) 放物線 $C$ の $q ≦ x ≦ p$ の部分，線分 $O P$ ，および線分 $O Q$ で囲まれた図形の面積を $S$ とおく。 $S$ を $a$ を用いて表せ。

(3) (2)の $S$ に対し， $S = \frac{2}{3}$ となるときの $a$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2024年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第1問・理系第1問

方針

解法1（接線条件と区分積分）

頂点と接線を先に確定し，囲まれる図形をどの直線・曲線で分けるかを明確にする。頂点は平方完成で求め， $P$ は直線 $O A$ と放物線の交点， $Q$ は原点を通る接線条件 $f (q) = q f^{'} (q)$ で決める。面積は $0 ≦ x ≦ q$ では線分 $O P$ と線分 $O Q$ の間， $q ≦ x ≦ p$ では線分 $O P$ と放物線の間に分かれるので，この2つの積分を丁寧に計算する。最後は $S = \frac{2}{3}$ に代入し， $a > 0$ から正の解だけを採用する。

別解（相似変換で面積の次数を先に決める）

座標を $x = a X, y = a^{2} Y$ と正規化する。すると放物線・2直線の形は $a$ に依存せず、面積だけが横 $a$ 倍・縦 $a^{2}$ 倍、すなわち $a^{3}$ 倍になる。 $a = 1$ の基準図形の面積を1回だけ計算する。

解答

解法1（接線条件と区分積分）

(1)

平方完成すると $f (x) = x^{2} - 2 a x + 4 a^{2} = (x - a)^{2} + 3 a^{2}$ であるから，放物線 $C$ の頂点は $A (a, 3 a^{2})$ である。よって， $O (0, 0)$ と $A (a, 3 a^{2})$ を通る直線 $O A$ の方程式は $y = 3 a x$ である。

$P$ はこの直線と $C$ の交点のうち $A$ でない点であるから， $x^{2} - 2 a x + 4 a^{2} = 3 a x$ を解く。整理して $x^{2} - 5 a x + 4 a^{2} = 0, (x - a) (x - 4 a) = 0$ となる。 $x = a$ は頂点 $A$ に対応するので， $p = 4 a$ である。

次に， $x = q$ における接線が原点を通る条件を立てる。接線の傾きは $f^{'} (q) = 2 q - 2 a$ であり，接線の方程式は $y - f (q) = f^{'} (q) (x - q)$ である。これが原点を通るので， $x = 0, y = 0$ を代入して $- f (q) = - q f^{'} (q), f (q) = q f^{'} (q)$ を得る。したがって $q^{2} - 2 a q + 4 a^{2} = q (2 q - 2 a)$ であり，右辺を移項すると $q^{2} = 4 a^{2}$ である。 $a > 0, q > 0$ より $q = 2 a$ となる。以上より $p = 4 a > 2 a = q$ である。

(2)

線分 $O P$ は $O$ と $P (4 a, f (4 a))$ を結ぶ。実際に $f (4 a) = 12 a^{2}$ であるから，その方程式は $y = 3 a x$ である。また，線分 $O Q$ は原点と $Q (2 a, f (2 a))$ を結ぶ。 $f (2 a) = 4 a^{2}$ なので，その方程式は $y = 2 a x$ である。

囲まれた図形は， $0 ≦ x ≦ 2 a$ では2本の直線 $O P, O Q$ の間， $2 a ≦ x ≦ 4 a$ では直線 $O P$ と放物線 $C$ の間である。よって $S = \int_{0}^{2 a} (3 a x - 2 a x) d x + \int_{2 a}^{4 a} {3 a x - (x^{2} - 2 a x + 4 a^{2})} d x$ である。すなわち $S = \int_{0}^{2 a} a x d x + \int_{2 a}^{4 a} (- x^{2} + 5 a x - 4 a^{2}) d x$ となる。

第1項は $\int_{0}^{2 a} a x d x = a [\frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{2 a} = 2 a^{3}$ である。第2項は

\int_{2 a}^{4 a} (- x^{2} + 5 a x - 4 a^{2}) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} + \frac{5 a}{2} x^{2} - 4 a^{2} x]_{2 a}^{4 a} = (- \frac{64}{3} + 40 - 16) a^{3} - (- \frac{8}{3} + 10 - 8) a^{3} = \frac{8}{3} a^{3} - (- \frac{2}{3} a^{3}) = \frac{10}{3} a^{3}

である。したがって $S = 2 a^{3} + \frac{10}{3} a^{3} = \frac{16}{3} a^{3}$ である。

(3)

$S = \frac{2}{3}$ を(2)の式に代入すると $\frac{16}{3} a^{3} = \frac{2}{3}$ である。両辺に $3$ をかけて $16 a^{3} = 2, a^{3} = \frac{1}{8}$ を得る。 $a > 0$ であるから $a = \frac{1}{2}$ である。

【図形の位置関係（ $a = 1$ に正規化）】

青色部分が求める領域であり、 $x = q$ を境に下側の境界が直線 $O Q$ から放物線 $C$ へ切り替わる。

別解（相似変換で面積の次数を先に決める）

(1)

頂点は $A (a, 3 a^{2})$ なので $O A : y = 3 a x$ である。放物線との交点条件は

x^{2} - 2 a x + 4 a^{2} = 3 a x ⟺ (x - a) (x - 4 a) = 0

であり、 $A$ でない交点から $p = 4 a$ を得る。また原点を通る接線の接点条件 $f (q) = q f^{'} (q)$ から $q^{2} = 4 a^{2}$ となり、 $q > 0$ より $q = 2 a$ である。ゆえに $p > q$ である。

(2)

$x = a X, y = a^{2} Y$ とおくと

C : Y = X^{2} - 2 X + 4, O P : Y = 3 X, O Q : Y = 2 X

となる。したがって図形の形は $a = 1$ の場合と同じで、面積は横方向の倍率 $a$ と縦方向の倍率 $a^{2}$ の積、すなわち $a^{3}$ 倍になる。

$a = 1$ の基準図形では $q = 2, p = 4$ であるから、面積は

\int_{0}^{2} (3 X - 2 X) d X + \int_{2}^{4} {3 X - (X^{2} - 2 X + 4)} d X = 2 + \frac{10}{3} = \frac{16}{3} .

よって $S = \frac{16}{3} a^{3}$ である。

(3)

$\frac{16}{3} a^{3} = \frac{2}{3}$ より $a^{3} = \frac{1}{8}$ であり、 $a > 0$ から $a = \frac{1}{2}$ である。

東北大学 2024年度文理共通数学 文系第1問・理系第1問

問題

方針

解法1（接線条件と区分積分）

別解（相似変換で面積の次数を先に決める）

解答

解法1（接線条件と区分積分）

(1)

(2)

(3)

【図形の位置関係（a=1に正規化）】

別解（相似変換で面積の次数を先に決める）

(1)

(2)

(3)

東北大学 2024年度
文理共通数学文系第1問・理系第1問

【図形の位置関係（ $a = 1$ に正規化）】