問題
以下の問いに答えよ。
(1) をを満たす実数とする。正の実数が2つの条件
(a)
(b)
をともに満たすとする。このとき，不等式
を示せ。
(2) を満たす正の整数をすべて求めよ。
方針
解法1（対数差を2項に分ける）
(1)は示したい差を，条件(b)で下から押さえられると，条件(a)から正になるに分ける。条件(a)は逆数をとってへ変形するのが決め手である。(2)は小さいを直接判定し，で不成立を確認した後，(1)をで用いて「ある整数で不成立なら次も不成立」をに伝播させる。
別解（対数を指数不等式へ戻す）
(1)は条件(b)に1を加えて を作り、条件(a)から を示す。(2)は を に直し、以降では逆向きの不等式を帰納的に示す。
解答
解法1（対数差を2項に分ける）
(1)
示したい不等式の左辺との差を考える。対数の性質より であるから，
である。
条件(b)より である。次に条件(a)を使う。なので， から，両辺の逆数をとって である。よって となる。なので，底の対数は増加関数であり， を得る。したがって である。
以上より となるから， が示された。
(2)
まず小さい正の整数を調べる。 は成り立たない。 であるから，は条件を満たす。
次にでは条件を満たさないことを示す。まず を確認する。これは すなわち と同値であり，より正しい。したがっては不成立である。
ここで，ある正の実数について かつ が成り立つなら，(1)をに適用できる。条件(b)はとして満たされ，条件(a)も満たされるので， が従う。
ではであり，またである。よって上の議論をに順に用いると，すべてのについて となる。したがって，条件を満たす正の整数は である。
別解（対数を指数不等式へ戻す）
(1)
条件(b)から
一方、条件(a)を変形すると
両辺は正なので2乗して を得る。 だから は増加関数であり、
以上をつなげれば である。
(2)
条件は
と同値である。 を調べると、成立するのは である。
では を帰納法で示す。 では である。 と仮定すると、 より
だから
よってすべての で不成立であり、求める整数は である。