問題
を正の実数とし，平面上の点，，，が次の条件をすべて満たすとする。
以下の問いに答えよ。
(1) の値を求めよ。
(2) の値をそれぞれ求めよ。
(3) 2点を直径の両端とする円をとする。線分との交点のうちと異なるものをとする。また，線分との交点のうちと異なるものをとする。このとき，方べきの定理
を示せ。
(4) (3)の点に対し，積の値を求めよ。
方針
解法1（円周角と相似による方べき）
まずが軸上，が軸上にあることから，直角三角形の三角比でを結ぶ。は加法定理で求め，もその逆数として使う。(3)は「直径に対する円周角は直角」から相似を作って方べきの式を証明する。(4)は(3)で得たを用い，に直して積を計算する。
別解（円の方程式へ直線を代入する）
円 を座標方程式で表し、 上の点を始点からの比 で媒介する。円との交点を与える二次式から、 以外の根を読み取って と を直接計算する。
解答
解法1（円周角と相似による方べき）
(1)
加法定理より
である。を代入すると
である。
(2)
三角形はで直角であり，である。だから である。また，とは余角なので である。よって となる。
同様に，三角形についてより であるから である。ここで であり，図の位置関係からである。したがって である。よって である。
(3)
円はを直径とする円である。点は円上にあり，だから，直径に対する円周角より である。一方，は軸上，は軸上にあるので である。また，は線分上にあるから，とは同じ直線上にあり， である。したがって，直角三角形とは相似である。
対応する辺を比べると，斜辺に対応するのはと，またに対応するのはであるから である。よって が成り立つ。
同じ理由で，点についてもであり，直角三角形とは相似である。したがって となり， が成り立つ。
(4)
(3)より
である。したがって である。
三角形では斜辺であり，だから である。同様に である。よって
となる。
(2)の値から である。また積和公式により
である。したがって である。
【点の配置】
が直径なので となり、相似が生じる。
別解（円の方程式へ直線を代入する）
(1)
である。
(2)
直角三角形 から
より
(3)
直径が の円は
である。線分 上の点を、 から へ進む比 を用いて
と表す。円の式へ代入すると
は点 を表す。もう一つの根は
であり、これが点 に対応する。 だから
同様に 上で計算すれば を得る。
(4)
したがって
、 より、求める値は である。