東北大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
定義より $$(1+\sqrt{2}{)}^n=a_n+b_n\sqrt{2}$$ である。両辺に$1+\sqrt{2}$をかけると $$(1+\sqrt{2}{)}^{n+1}=(a_n+b_n\sqrt{2})(1+\sqrt{2})$$ である。右辺を展開して $(a_n+2b_n)+(a_n+b_n)\sqrt{2}$ となるから，係数比較により $$a_{n+1}=a_n+2b_n,b_{n+1}=a_n+b_n$$ である。

$n=1$では $1+\sqrt{2}=a_1+b_1\sqrt{2}$ より$a_1=1,b_1=1$である。漸化式を用いると$$\begin{array}{ccccccc}n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ a_n& 1& 3& 7& 17& 41& 99\\ b_n& 1& 2& 5& 12& 29& 70\end{array}$$である。したがって $$b_4=12,b_5=29,b_6=70$$ である。

(2)
数学的帰納法で示す。$n=1$のときは $1-\sqrt{2}=a_1-b_1\sqrt{2}$ であるから成り立つ。

$n=k$で $$(1-\sqrt{2}{)}^k=a_k-b_k\sqrt{2}$$ が成り立つと仮定する。この両辺に$1-\sqrt{2}$をかけると $$(1-\sqrt{2}{)}^{k+1}=(a_k-b_k\sqrt{2})(1-\sqrt{2})$$ である。右辺は $(a_k+2b_k)-(a_k+b_k)\sqrt{2}$ となる。(1)より $$a_{k+1}=a_k+2b_k,b_{k+1}=a_k+b_k$$ なので，$$(1-\sqrt{2}{)}^{k+1}=a_{k+1}-b_{k+1}\sqrt{2}$$ である。よって$n=k+1$でも成り立つ。以上より，すべての正の整数$n$について $$(1-\sqrt{2}{)}^n=a_n-b_n\sqrt{2}$$ が成り立つ。

(3) $$\alpha =1+\sqrt{2},\beta =1-\sqrt{2}$$ とおく。(2)と定義式を引くと $${\alpha }^n-{\beta }^n=2b_n\sqrt{2}$$ であるから，$$b_n=\frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{2\sqrt{2}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}{b}_{n-1}-b_n^2}& {\displaystyle =\frac{({\alpha }^{n+1}-{\beta }^{n+1})({\alpha }^{n-1}-{\beta }^{n-1})-({\alpha }^n-{\beta }^n{)}^2}{8}}\end{array}$$である。分子を整理すると，${\alpha }^{2n}$と${\beta }^{2n}$が打ち消し合い，$-{\alpha }^{n+1}{\beta }^{n-1}-{\beta }^{n+1}{\alpha }^{n-1}+2{\alpha }^n{\beta }^n$ となる。ここで $$\alpha \beta =(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=-1$$ であり，また $${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =2^2-2(-1)=6$$ である。よって分子は$$-(\alpha \beta {)}^{n-1}({\alpha }^2+{\beta }^2)+2(\alpha \beta {)}^n=-6(-1{)}^{n-1}+2(-1{)}^n=8(-1{)}^n$$である。したがって $$b_{n+1}{b}_{n-1}-b_n^2=(-1{)}^n$$ である。

(4)
(1)より$b_6=70,b_5=29$であるから，求める条件は $70p-29q=1$ である。ユークリッドの互除法を用いると$$70=2\cdot 29+12,29=2\cdot 12+5,12=2\cdot 5+2,5=2\cdot 2+1$$である。これを逆にたどると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1}& {\displaystyle =5-2\cdot 2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5-2(12-2\cdot 5)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5\cdot 5-2\cdot 12}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5(29-2\cdot 12)-2\cdot 12}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5\cdot 29-12\cdot 12}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5\cdot 29-12(70-2\cdot 29)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =29\cdot 29-12\cdot 70}\end{array}$$である。これは $70(-12)-29(-29)=1$ を与える。$p,q$をともに$0$以上にするため，$70p-29q=1$の一般解を考えると $$p=-12+29k,q=-29+70k$$ である。$k=1$とすれば $p=17,q=41$ となり，これは$0\leqq p\leqq 100,0\leqq q\leqq 100$を満たす。したがって，例えば $$(p,q)=(17,41)$$ でよい。

(1) の2本の漸化式から $a_n$ を消去して $b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n$ を得る。隣接3項で作る $D_n=b_{n+1}{b}_{n-1}-b_n^2$ が符号反転することを示す。(4)では $D_5=-1$ をそのままベズー型の等式へ使う。

(1) 係数比較から$$a_{n+1}=a_n+2b_n,b_{n+1}=a_n+b_n$$であり、$b_4=12,b_5=29,b_6=70$ となる。

(2) 共役な式はこの漸化式を保つので、数学的帰納法により $(1-\sqrt{2}{)}^n=a_n-b_n\sqrt{2}$ も成り立つ。

(3) $a_n=b_{n+1}-b_n$ を $a_{n+1}=a_n+2b_n$ に代入すると$$b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n$$を得る。$D_n=b_{n+1}{b}_{n-1}-b_n^2$ とおく。$b_{n+1}=2b_n+b_{n-1}$ から$$D_n=b_{n+1}^2-2b_n{b}_{n+1}-b_n^2\mathrm{.}$$一方、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D_{n+1}}& {\displaystyle =b_{n+2}{b}_n-b_{n+1}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2b_{n+1}+b_n)b_n-b_{n+1}^2=-D_n\mathrm{.}}\end{array}$$$D_2=b_3{b}_1-b_2^2=5-4=1$ なので $D_n=(-1{)}^n$ である。

(4) $n=5$ とすれば$$b_6{b}_4-b_5^2=-1,\text{すなわち}{b}_5^2-b_6{b}_4=1.$$したがって $70(-12)-29(-29)=1$ がまず得られる。一般解は$$p=-12+29k,q=-29+70k$$であり、$k=1$ とすれば $(p,q)=(17,41)$ となる。これは指定範囲を満たす。