東北大学 2024年度文系数学第4問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とする。2つの整数 $a_{n}, b_{n}$ を条件

(1 + 2)^{n} = a_{n} + b_{n} 2

により定める。ここで， $2$ は無理数なので，このような整数の組 $(a_{n}, b_{n})$ はただ1つに定まる。

(1) $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ を用いてそれぞれ表せ。さらに， $b_{4}, b_{5}, b_{6}$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) 等式

(1 - 2)^{n} = a_{n} - b_{n} 2

が成り立つことを数学的帰納法を用いて表せ。

(3) $n ≧ 2$ のとき， $b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2}$ を求めよ。

(4) $p b_{6} - q b_{5} = 1$ ， $0 ≦ p ≦ 100$ ， $0 ≦ q ≦ 100$ をすべて満たす整数 $p, q$ の組 $(p, q)$ を1組求めよ。

出典：東北大学 2024年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

解法1（共役数による一般項）

(1)は $(1 + 2)^{n + 1} = (a_{n} + b_{n} 2) (1 + 2)$ を展開して係数比較する。数値は漸化式で順に出す。(2)は共役な形が同じ漸化式を満たすことを帰納法で示す。(3)は(2)の式と元の式を引いて $b_{n}$ を閉じた形で表し， $α = 1 + 2, β = 1 - 2$ として積を整理する。符号は $α β = - 1$ から決まる。(4)は $b_{5}, b_{6}$ を代入して一次不定方程式 $70 p - 29 q = 1$ を解き，指定範囲内の1組を出す。

別解（$b_n$ の漸化式と行列式型不変量）

(1)の2本の漸化式から $a_{n}$ を消去して $b_{n + 2} = 2 b_{n + 1} + b_{n}$ を得る。隣接3項で作る $D_{n} = b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2}$ が符号反転することを示す。(4)では $D_{5} = - 1$ をそのままベズー型の等式へ使う。

解答

解法1（共役数による一般項）

(1)

定義より $(1 + 2)^{n} = a_{n} + b_{n} 2$ である。両辺に $1 + 2$ をかけると $(1 + 2)^{n + 1} = (a_{n} + b_{n} 2) (1 + 2)$ である。右辺を展開して $(a_{n} + 2 b_{n}) + (a_{n} + b_{n}) 2$ となるから，係数比較により $a_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}$ である。

$n = 1$ では $1 + 2 = a_{1} + b_{1} 2$ より $a_{1} = 1, b_{1} = 1$ である。漸化式を用いると

n a_{n} b_{n} 111232375417125412969970

である。したがって $b_{4} = 12, b_{5} = 29, b_{6} = 70$ である。

(2)

数学的帰納法で示す。 $n = 1$ のときは $1 - 2 = a_{1} - b_{1} 2$ であるから成り立つ。

$n = k$ で $(1 - 2)^{k} = a_{k} - b_{k} 2$ が成り立つと仮定する。この両辺に $1 - 2$ をかけると $(1 - 2)^{k + 1} = (a_{k} - b_{k} 2) (1 - 2)$ である。右辺は $(a_{k} + 2 b_{k}) - (a_{k} + b_{k}) 2$ となる。(1)より $a_{k + 1} = a_{k} + 2 b_{k}, b_{k + 1} = a_{k} + b_{k}$ なので， $(1 - 2)^{k + 1} = a_{k + 1} - b_{k + 1} 2$ である。よって $n = k + 1$ でも成り立つ。以上より，すべての正の整数 $n$ について $(1 - 2)^{n} = a_{n} - b_{n} 2$ が成り立つ。

(3)

$α = 1 + 2, β = 1 - 2$ とおく。(2)と定義式を引くと $α^{n} - β^{n} = 2 b_{n} 2$ であるから， $b_{n} = \frac{α ^{n} - β ^{n}}{2 2}$ である。したがって

b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2} = \frac{( α ^{n + 1} - β ^{n + 1} ) ( α ^{n - 1} - β ^{n - 1} ) - ( α ^{n} - β ^{n} ) ^{2}}{8}

である。分子を整理すると， $α^{2 n}$ と $β^{2 n}$ が打ち消し合い， $- α^{n + 1} β^{n - 1} - β^{n + 1} α^{n - 1} + 2 α^{n} β^{n}$ となる。ここで $α β = (1 + 2) (1 - 2) = - 1$ であり，また $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 2^{2} - 2 (- 1) = 6$ である。よって分子は

- (α β)^{n - 1} (α^{2} + β^{2}) + 2 (α β)^{n} = - 6 (- 1)^{n - 1} + 2 (- 1)^{n} = 8 (- 1)^{n}

である。したがって $b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2} = (- 1)^{n}$ である。

(4)

(1)より $b_{6} = 70, b_{5} = 29$ であるから，求める条件は $70 p - 29 q = 1$ である。ユークリッドの互除法を用いると

70 = 2 \cdot 29 + 12, 29 = 2 \cdot 12 + 5, 12 = 2 \cdot 5 + 2, 5 = 2 \cdot 2 + 1

である。これを逆にたどると

1 = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 2 (12 - 2 \cdot 5) = 5 \cdot 5 - 2 \cdot 12 = 5 (29 - 2 \cdot 12) - 2 \cdot 12 = 5 \cdot 29 - 12 \cdot 12 = 5 \cdot 29 - 12 (70 - 2 \cdot 29) = 29 \cdot 29 - 12 \cdot 70

である。これは $70 (- 12) - 29 (- 29) = 1$ を与える。 $p, q$ をともに $0$ 以上にするため， $70 p - 29 q = 1$ の一般解を考えると $p = - 12 + 29 k, q = - 29 + 70 k$ である。 $k = 1$ とすれば $p = 17, q = 41$ となり，これは $0 ≦ p ≦ 100, 0 ≦ q ≦ 100$ を満たす。したがって，例えば $(p, q) = (17, 41)$ でよい。

別解（$b_n$ の漸化式と行列式型不変量）

(1)

係数比較から

a_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}

であり、 $b_{4} = 12, b_{5} = 29, b_{6} = 70$ となる。

(2)

共役な式はこの漸化式を保つので、数学的帰納法により $(1 - 2)^{n} = a_{n} - b_{n} 2$ も成り立つ。

(3)

$a_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ を $a_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}$ に代入すると

b_{n + 2} = 2 b_{n + 1} + b_{n}

を得る。 $D_{n} = b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2}$ とおく。 $b_{n + 1} = 2 b_{n} + b_{n - 1}$ から

D_{n} = b_{n + 1}^{2} - 2 b_{n} b_{n + 1} - b_{n}^{2} .

一方、

D_{n + 1} = b_{n + 2} b_{n} - b_{n + 1}^{2} = (2 b_{n + 1} + b_{n}) b_{n} - b_{n + 1}^{2} = - D_{n} .

$D_{2} = b_{3} b_{1} - b_{2}^{2} = 5 - 4 = 1$ なので $D_{n} = (- 1)^{n}$ である。

(4)

$n = 5$ とすれば

b_{6} b_{4} - b_{5}^{2} = - 1, すなわち b_{5}^{2} - b_{6} b_{4} = 1.

したがって $70 (- 12) - 29 (- 29) = 1$ がまず得られる。一般解は

p = - 12 + 29 k, q = - 29 + 70 k

であり、 $k = 1$ とすれば $(p, q) = (17, 41)$ となる。これは指定範囲を満たす。

東北大学 2024年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1（共役数による一般項）

別解（$b_n$ の漸化式と行列式型不変量）

解答

解法1（共役数による一般項）

(1)

(2)

(3)

(4)

別解（$b_n$ の漸化式と行列式型不変量）

(1)

(2)

(3)

(4)

東北大学 2024年度
文系数学第4問